Reálne číslo

Z Wikipédie

Reálne číslo je každé číslo patriace do množiny reálnych čísel.

Reálne čísla môžu byť:

• racionálne
• iracionálne
  • algebrické
  • transcendentné

[úprava] Množina reálnych čísel, axiomatické zadefinovanie

Množinu reálnych čísel označujeme písmenom R.

Pre každé dve reálne čísla je daný ich súčet x + y, rozdiel x − y a súčin x.y. Číslice 0, 1 označujú konkrétne reálne čísla. Daný je vzťah usporiadania reálnych čísel podľa veľkosti x < y (x je menšie ako y). Zápis x < = y znamená x < y alebo x = y. Číslo a sa nazýva horné ohraničenie množiny X podmnožina R, ak pre každé platí x < = a. Množina X je zhora ohraničená, ak existuje jej horné ohraničenie. Číslo a sa nazýva supremum množiny X, píšeme a = supX, ak a je najmenšie horné ohraničenie množiny X.

Množina reálnych čísel má tieto vlastnosti:

1. R, +, -, . , 0, 1 je teleso
2. neexistuje také, že x<x
3. ak , x<y a y<z, tak x<z
4. pre každé dve rôzne reálne čísla platí buď x<y alebo y<x
5. 0<1
6. ak , x<y, tak x+z<y+z
7. ak , x>0, y>0, tak x.y>0
8. každá neprázdna zhora ohraničená množina reálnych čísel má supremum

Z týchto ôsmych axióm sa dajú odvodiť všetky ostatné vlastnosti množiny reálnych čísel.

Axióma 8 sa nazýva Dedekindov princíp.

Množinu prirodzených čísel N možno definovať, ako najmenšiu podmnožinu množiny R s vlastnosťami

1. 
2. ak , tak

V tejto definícii je aj nula prirodzené číslo.

[úprava] Pôvodný zdroj

• Lev Bukovský: Množiny a všeličo okolo nich