Nierówność Schwarza
Z Wikipedii
Nierówność Schwarza — zwana też nierównością Cauchy'ego-Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza lub Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza. Podstawowa nierówność dla iloczynu skalarnego w przestrzeni wektorowej.
Niech (x,y) oznacza iloczyn skalarny wektorów x i y danej przestrzeni wektorowej. Nierówność Schwarza mówi, że:
Rozpatrując odpowiednie przestrzenie wektorowe i określone w nich iloczyny skalarne otrzymamy specjalne postaci nierówności Schwarza.
Przykłady:
- w przestrzeni Rn standardowy iloczyn skalarny (x1, x2, ..., xn)·(y1, y2, ..., yn) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn daje klasyczną nierówność:
- w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [0,1] z iloczynem
mamy kolejną klasyczną nierówność:
Ogólnie:
Dla funkcji f i g należących do przestrzeni L2(X) iloczyn fg należy do przestrzeni L1(X) oraz:
Nierówność Schwarza jest szczególnym przypadkiem Nierówności Höldera.
