Teoria cinetica dei gas

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La teoria cinetica dei gas è la teoria che spiega le proprietà macroscopiche dei gas partendo dalla considerazione della loro composizione a livello molecolare.

[modifica] Postulati

I principi essenziali della teoria cinetica sono dati sotto forma di diversi postulati:

I gas sono composti da molecole considerate come punti materiali in moto casuale e costante. Le particelle in moto collidono costantemente l'una contro l'altra e con le pareti del contenitore.
Le collisioni tra le molecole dei gas sono elastiche.
Il volume totale delle molecole dei gas è trascurabile comparato al volume del contenitore.
Le forze di attrazione tra le molecole sono trascurabili.

I postulati precedenti descrivono accuratamente il comportamento dei gas ideali. I gas reali si avvicinano all'ideale sotto condizioni di bassa densità e alta temperatura (lontani dalla liquefazione).

[modifica] Pressione

La pressione è spiegata dalla teoria cinetica come conseguenza delle forze esercitate dalle collisioni delle molecole del gas con le pareti del container. La derivazione dell'espressione matematica per la pressione è così data:

Si consideri un gas con N molecole, ognuna di massa m, rinchiuse in un contenitore cubico di volume V. Si supponga che una molecola collida con la parete del contenitore perpendicolare all'asse delle coordinate x e rimbalzi nella direzione opposta con uguale velocità (urto elastico). Dunque la quantità di moto persa dalla particella e ceduta alla parete è data da

q x = 2 m v x

dove v_x è la componente x della velocità iniziale della molecola.
Ora, la forza è il tasso di cambiamento della quantità di moto. La particella considerata collide con la parete una volta ogni 2l/v_xunità di tempo, dove l è la lunghezza del contenitore (tragitto della particella). La forza esercitata dalla particella risultante è

$mv_x *v_x \over l$

e la forza totale esercitata sulla parete è

$m\sum_j v_{jx}^2 \over l$

ossia la somma delle forze di tutte le molecole di gas nel contenitore. Dal momento che le molecole si muovono di moto casuale in tutte le direzioni e poiché

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$

per ogni particella, l'espressione della forza totale diventa

$m\sum_j v_j^2 \over 3l$

la quale può essere riscritta come

$Nmv_{rms}^2 \over 3l$

dove v_rms è la radice quadratica media della velocità del gas. Pertanto la pressione, la forza per unità di superficie, è uguale a

$Nmv_{rms}^2 \over 3Al$

dove A è l'area della parete. Perciò, se consideriamo che l'area della sezione del contenitore moltiplicata per la lunghezza è il volume, si ottiene l'espressione

$P = {Nmv_{rms}^2 \over 3V}$

dove V è il volume. Inoltre, siccome Nm è la massa totale del gas e massa diviso volume è densità

$P = {1 \over 3} \rho\ v_{rms}^2$

dove ρ è la densità del gas.

Il risultato è interessante e significativo perché mette in relazione la pressione, proprietà macroscopica, all'energia cinetica media di ciascuna molecola (1/2 mv_rms²), proprietà microscopica.

Si noti che il prodotto tra pressione e volume è semplicemente i due-terzi dell'energia cinetica totale.

[modifica] Energia Cinetica

Abbiamo visto che la pressione è in relazione all'energia cinetica delle molecole; ricordando la formula del calcolo della pressione

$P = {Nmv_{rms}^2 \over 3V}$

possiamo allora portare V a sinistra, ottenendo l'equazione

$PV = {Nmv_{rms}^2 \over 3}$

Per l'equazione di stato dei gas perfetti, sappiamo che

P V = n R T

dove R è la Costante del gas perfetto, pari a 8,3143 J/(mol × K), e n è il numero di moli del gas. A questo punto possiamo equiparare le due equazioni, e ci risulterà

$nRT = {Nmv_{rms}^2 \over 3}$

quindi, ponendo mv_rms² = 2K_m

$nRT = {2NK_{m} \over 3}$ .

Per calcolare l'energia cinetica, spostiamo K_m a sinistra;

$K_{m} = {3nRT \over 2N}$

così facendo ci rendiamo conto che sono in relazione tra loro due valori molto importanti, n (numero di moli del gas), e N (numero di molecole del gas), legati tra loro dalla formula N = n × N_A. N_A è il Numero di Avogadro, una costante che indica la quantità di atomi o molecole in una mole di sostanza, ed è uguale a 6,022 × 10^-23 mol^-1. Di conseguenza, se N/n = N_A,

$K_{m} = {3RT \over 2N_{A}}$

Notiamo che sia R che N_A sono costanti fisiche, quindi anche il loro rapporto sarà una costante. Questa è la Costante di Boltzmann, indicata con k_B, che ha valore uguale a 1,381 × 10^-23 J/K.

Quindi la formula dell'energia cinetica di un gas perfetto monoatomico è

$K_{m} = {3 \over 2}k_{B}T$

Questa formula, come quella precedente per la pressione, mette in relazione una grandezza microscopica come l'energia cinetica delle particelle di gas e una grandezza macroscopica come la loro temperatura. La relazione tra esse è la prova che la temperatura è data dall'agitazione termica delle molecole.

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