Teorema di Nöther

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Il teorema di Noether sancisce un legame tra l'invarianza di una certa quantità durante le trasformazioni in uno o più campi e una legge di conservazione di una "corrente", detta appunto corrente di Noether. Dimostrato dalla matematica Emmy Noether nel 1905, fu considerato da Einstein un monumento del pensiero umano.

[modifica] Dimostrazione

Se una certa quantità è invariante per una trasformazione in un campo, ciò implica che la corrispondente lagrangiana è simmetrica, ossia se il campo ψ si trasforma, per una trasformazione infinitesima α come

$\psi \rarr \psi + \alpha \Delta \psi$

la lagrangiana $\mathcal {L}$ , dovendo essere invariante fino ai termini di superficie, deve diventare

$\mathcal {L} \rarr \mathcal {L} + \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu$

dove $\mathcal {J}$ rappresenta una corrente di una qualche quantità, che fluisce attraverso la superficie. In generale, la variazione di $\mathcal {L}$ si può scrivere come

$\alpha \Delta \mathcal {L} = \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial \psi} ( \alpha \Delta \psi) + \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \partial _\mu ( \alpha \Delta \psi)$

Considerando la derivata di un prodotto, il secondo termine si può riscrivere come

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) - \alpha \Delta \psi\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \right)$

Sostituendo e prendendo a fattor comune αΔψ, si ottiene

$- \alpha \Delta \psi \left( \partial _\mu \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} -\frac {\partial \mathcal {L}}{\partial\psi} \right) + \partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)$

Ricordando l'equazione di Eulero-Lagrange, quanto sopra diventa

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right)$

ossia

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \alpha \Delta \psi \right) = \alpha \partial _\mu \mathcal {J}^\mu$

Riscrivendo il tutto, si può vedere come ci sia una conservazione della corrente $\mathcal {J}$ notando che

$\partial _\mu \left( \frac {\partial \mathcal {L}}{\partial ( \partial_\mu \psi)} \Delta \psi - \mathcal {J}^\mu \right) = 0$

Questo risultato dimostra il teorema di Noether.

[modifica] Dimostrazione alternativa

Definizione: si dice ammissibile una trasformazione invertibile di coordinate $\vec{q}=\vec{f}(\vec{Q})$ per un dato sistema se e soltanto se la lagrangiana L del sistema è invariante per la trasformazione ovvero se: $L(\vec{q}, \vec{\dot{q}})=L(\vec{Q}, \vec{\dot{Q}})$ .

Teorema di Noether: Se un sistema lagrangiano ammette un gruppo di trasformazioni ad un parametro $\vec{q}=\vec{f}(\vec{Q},s)$ allora le eq. di Lagrange del sistema hanno un integrale primo dato da $I(\vec{q}, \vec{\dot{q}})=\sum_{i=1}^{l} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial f_i}{\partial s} (\vec{q},0)$ .

Dimostrazione: se $\vec{q}(t)$ è una soluzione delle equazioni di Lagrange allora anche $\vec{F}(t,s)=\vec{f}(\vec{q}(t),s)$ lo è. Ma per l'invarianza di L posso scrivere
$\frac{\partial}{\partial s} L(\vec{F}, \vec{\dot{F}}) |_{s=0} = \sum_{i=1}^{l} (\frac{\partial L}{\partial q_i} (\vec{F}, \vec{\dot{F}}) \frac{\partial F_i}{\partial s} (t,0)+ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (\vec{F}, \vec{\dot{F}}) \frac{\partial \dot{F_i}}{\partial s} (t,0)) =0$
Ma per ogni i da 1 a l
$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} (\vec{F}, \dot{\vec{F}})- \frac{\partial L}{\partial q_i} (\vec{F}, \dot{\vec{F}})=0$
Mettendo a sistema queste due equazioni e sfruttando il fatto che: $\vec{F}(t,0)=\vec{q}(t)$ , $\dot{\vec{F}}(t,0)=\dot{\vec{q}}(t)$ e $\frac{\partial \vec{F}}{\partial s}=\frac{\partial \vec{f}}{\partial s}$ si ottiene
$\frac{d}{d t} (\sum_{i=1}^{l} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{\partial F_i}{\partial s} (t,0))= \frac{d}{d t} I(\vec{q}, \dot{\vec{q}})=0$
ovvero I è un'invariante del moto.