Equazioni di Eulero-Lagrange

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In meccanica razionale per equazioni di Eulero-Lagrange si intendono le 2n equazioni:

$\dot{q}^\lambda=u^\lambda$

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial u^\lambda}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^\lambda}=0$

dove $(q λ, u λ)$ sono le coordinate naturali sul fibrato tangente TQ di una varietà differenziabile Q di dimensione n con coordinate $q λ$ , mentre L è una funzione di $q λ$ , $u λ$ ed eventualmente del tempo chiamata Lagrangiana. La notazione $\frac{d}{dt}$ indica la derivata totale rispetto al tempo.

In modo più informale si usa sottointendere il primo gruppo di equazioni e scrivere le restanti come:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^\lambda}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^\lambda}=0.$

Lo studio dei sistemi che obbediscono alle equazioni di Eulero-Lagrange è l'argomento della meccanica lagrangiana.

[modifica] Interpretazione fisica

Le equazioni di Eulero Lagrange rappresentano le equazioni del moto di un sistema descritto dalla lagrangiana L.
Le $q λ$ e le $\dot{q}^\lambda$ rappresentano, nel caso di un sistema meccanico, le coordinate e le velocità generalizzate. Le soluzioni di tali equazioni ci indicano come variano in funzione del tempo queste quantità.

[modifica] Equazioni di eulero Lagrange in teoria dei campi

In teoria dei campi le equazioni di Eulero-Lagrange si generalizzano nel sistema di equazioni alle derivate parziali

$\frac{\partial\phi^i}{\partial x^\mu}=\phi^i_\mu$

$\frac{d}{dx^\mu}\left(\frac{\partial L}{\partial\phi^i_\mu}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi^i}=0$

dove $x μ$ sono le coordinate su di una varietà differenziabile M (usualmente lo spazio-tempo) e $φ i$ sono le componenti di un campo su questa varietà a valori in una certa "varietà bersaglio" F; nuovamente con l'espressione $\frac{d}{dx^\mu}$ si indica la derivata totale rispetto alla variabile $x μ$ .

Più formalmente i campi possono essere rappresentati come sezioni di un fibrato con base M e fibra F, per rappresentare le loro derivate occorre allora introdurre il formalismo dei getti.

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