Teorema de Noether

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El teorema de Noether es un resultado central en física teórica que expresa la equivalencia de dos diversas propiedades de las leyes físicas. Es así nombrado por la matemática Emmy Noether.

El teorema de Noether relaciona pares de ideas básicas de la física, una es la invariancia de la forma que una ley física toma con respecto a cualquier transformación (generalizada) que preserve el sistema de coordenadas (aspectos espaciales y temporales tomados en consideración), y la otra es la ley de conservación de una cantidad física.

Informalmente, el teorema de Noether se puede establecer como: A cada simetría (continua), le corresponde una ley de conservación y viceversa.

La declaración formal del teorema deriva una expresión para la cantidad física que se conserva (y por lo tanto también la define), de la condición de invariancia solamente. Por ejemplo:

la invariancia de sistemas físicos con respecto a la traslación (dicho simplemente, las leyes de la física no varían con la localización en el espacio) da la ley de conservación del momento lineal;

la invariancia con respecto a la (dirección del eje de) rotación da la ley de conservación del momento angular;

la invariancia con respecto a (la traslación en) el tiempo da la ley, bien conocida, de conservación de la energía, etcetera.

Al subir a la teoría cuántica de campos, la invariancia con respecto a la transformación general de gauge da la ley de la conservación de la carga eléctrica, etcétera. Así, el resultado es una contribución muy importante a la física en general, pues ayuda a proporcionar intuiciones de gran alcance en cualquier teoría general en física, con sólo analizar las diversas transformaciones que harían invariantes la forma de los leyes implicadas.

[editar] La prueba

Supóngase que tenemos una variedad M de dimensión n, y una variedad blanco (codominio) T. Sea $\mathcal{C}$ el espacio de configuración de las funciones diferenciables de M a T.

Antes de seguir, vamos dar algunos ejemplos:

En mecánica clásica, M es la variedad unidimensional R, representando el tiempo y el espacio blanco es el fibrado tangente del espacio de posiciones generalizadas.

En la teoría de campos, M es la variedad del espacio-tiempo y el espacio blanco es el conjunto de valores que los campos pueden tomar en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay m campos escalares real-valorados, φ₁...,φ_m, entonces la variedad blanco es R^m. Si el campo es un campo real vectorial, entonces la variedad blanco es isomorfa R^m. Hay realmente una manera mucho más elegante usando fibrados tangente sobre M, pero para los propósitos de esta prueba, nos apegamos a esta versión.

Ahora suponga que hay una funcional

$S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}$ ,

llamada la acción. (Note que toma valores en R , más bien que en C; esto es por razones físicas, y realmente no importa para esta prueba.)

Para conseguir la versión usual del teorema de Noether, necesitamos restricciones adicionales en la acción. Asumimos que S(φ) es la integral sobre M de una función

$\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi,x)$

llamada el lagrangiano, dependiendo de φ, su derivada y la posición. Es decir para φ en $\mathcal{C}$

$S[\phi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\phi(x),\partial_\mu\phi(x),x).$

Suponga dadas condiciones de contorno, que son básicamente una especificación del valor de φ en el borde de M si es compacta, o un cierto límite en φ cuando x se acerca a ∞; esto ayudará a hacer la integración por partes). Podemos denotar por N el subconjunto de $\mathcal{C}$ que consiste en las funciones φ tales que todas las derivadas funcionales de S en φ son cero y φ satisface las condiciones de contorno dadas.

Ahora, suponga que tenemos una transformación infinitesimal sobre $\mathcal{C}$ , dada por la derivada funcional, δ tal que

$\delta\int_N d^nx\mathcal{L}=\int_{\partial N}ds_\mu f^\mu(\phi(x),\partial\phi,\partial\partial\phi,...)$

para todas los subvariedades compactas N. Entonces, decimos que δ es un generador de un grupo de Lie uniparamétrico. Ahora, para cualquier N, debido al teorema de Euler-Lagrange, tenemos

$\delta\int_N d^nx\mathcal{L}= \int_Nd^nx(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}- \partial_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)})\delta\phi+ \int_{\partial N}ds_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}= \int_{\partial_N}ds_\mu\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}$ .

Puesto que esto es verdad para cualquier N, tenemos

$\partial_\mu(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}-f^\mu)=0$ .

Se puede reconocer inmediatamente esto como la ecuación de continuidad para la corriente

$J^\mu\equiv\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}-f^\mu$

que se llama la corriente de Noether asociada a la simetría. La ecuación de continuidad nos dice que si integramos esta corriente sobre una "rebanada" (hipersuperficie) de tipo espacio, conseguimos una cantidad conservada llamada la carga de Noether (asumiendo, por supuesto, que si M es no compacto, las corrientes decaen suficientemente rápido en el infinito).