תורת הקבוצות הנאיבית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

תורת הקבוצות היא תורה מתמטית בסיסית המהווה כיום יסוד חשוב במתמטיקה העיונית (מספרים, יחסים ופונקציות מוגדרים במושגים של תורת הקבוצות). תורת הקבוצות פותחה בסוף המאה ה-19, כמעט בלעדית על ידי גאורג קנטור, כדי לאפשר למתמטיקאים לעבוד עם אוספים וגדלים אינסופיים באופן עיקבי.

הרעיון הבסיסי שבו עוסקת תורת הקבוצות היסודית (הנקראת לעתים "נאיבית" בגלל פרדוקסים שיוזכרו בהמשך) הוא הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים. מנקודת מבט לוגית, נתבונן בעצם כלשהו (אם זהו מספר, סימול מופשט כלשהו, או קבוצה אחרת), ונשאל את השאלה: "האם העצם הזה הוא איבר בקבוצה A?". כלומר, על כל עצם x כלשהו נוכל להגיד אך ורק אחת משתי האפשרויות הבאות:

"העצם x איבר בקבוצה A" או
"העצם x אינו איבר בקבוצה A".

נסמן שייכות זו בסימון הבא: $x\in A$ , כלומר x איבר בקבוצה A.

נתבונן עתה בקבוצה A כלשהי, ועליה נשאל, "האם בקבוצה A יש איברים?"

אם אין בה איברים, זוהי הקבוצה הריקה ונסמן אותה: $A=\empty$ .
אם קיימים בה איברים, אז היא אינה קבוצה ריקה לכן $A\ne\empty$ .

את הקבוצה A שבה קיימים שלושת האיברים a, b ,c נסמן:

$A=\left\{a,b,c\right\}$

נתבונן בשתי קבוצות A ו B אשר בהן מספר כלשהו של איברים.

יחסים חשובים בין הקבוצות הם:

הכלה או חלקיות: כלומר, כל איבר x בקבוצה A הוא גם איבר בקבוצה B, יחס זה מסומן ב $A\subseteq B$ , אומרים גם שהקבוצה A חלקית לקבוצה B.
שיווין: שיוויון מוגדר כהכלה משני הכיוונים, כלומר, $A = B$ אם ורק אם $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq A$ .
חלקיות ממש: הקבוצה A תהיה חלקית ממש לקבוצה B אם ורק אם היא חלקית לה אך אינה שווה לה. בצורה אחרת נגדיר $A\subset B$ או"א $A\subseteq B$ וגם קיים איבר x בB שמקיים $x\notin A$ .

[עריכה] קבוצה אינסופית

נשאל עכשיו שאלה מעניינת: האם ניתן ליצור קבוצה אשר בה מספר "שאינו נגמר" של איברים? נתאר קבוצה אשר מייצגת את כל המספרים הטבעיים, כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום ונגדיר אותה חלקית:

$N = \left\{1,2,3,...\right\}$

הקבוצה N מוגדרת באופן שאינו מאפשר "לספור" את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם אז תמיד יהיו איברים נוספים בקבוצה שעלינו לספור. תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי, דרך נפוצה היא בשימוש באקסיומות פאנו.

קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל "גודלן" של קבוצות אלו. הוא חיפש דרך לבטא את פעולת הספירה ה"אינטואיטיבית" בשימוש בכלים מתמטיים כגון פונקציות (אשר קודמים לרעיון ה"מספר"). ולמעשה "להרחיב" את היחסים המוכרים בין הקבוצות ה"סופיות" גם ל"אינסופיות". מציאת מיפוי (או "התאמה חד-חד ערכית") בין קבוצות, שהיא למעשה פונקציה חד-חד ערכית מ-A על B, מרמזת על כך ששתי קבוצות סופיות יהיו באותו "גודל":

למשל לקבוצות הסופיות A, B המוגדרות:

$A = \left\{1,2,3,4\right\}$

$B = \left\{c,d,e,f\right\}$

נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ-A על B: (בשימוש בזוגות סדורים)

$f = (A,B,\left\{(1,c),(2,d),(3,e),(4,f)\right\})$

מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן "באותו גודל". מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת "גודלן" של קבוצות סופיות. במינוח המתמטי, יחס זה נקרא שקילות בין קבוצות. וקבוצות שביניהן ניתן למצוא יחס כזה נקראות שקולות או שוות עצמה.

נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, והטבעיים הזוגיים המוגדרות:

$N = \left\{1,2,3,...\right\}$

$N_2 = \left\{2,4,6,...\right\}$

נגדיר פונקציה:

$f: N \to N_2,\quad f(x)=2x$

פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ועל. מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים.

בשימוש בהתאמות למציאת עצמת קבוצות, הוצאו מספר תוצאות מזהירות (ולעתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות. ביניהן: קנטור הוכיח קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים למספרים הרציונליים. כמו כן, אי שקילות בין כל קבוצה לקבוצת החזקה שלה (משפט קנטור) ואי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים (האלכסון של קנטור).

קבוצות אלו נקראות בעלות עוצמה (או מספר קרדינלי) שונה, ונמצאו קבוצות אינסופיות רבות נוספות בעלות עוצמות שונות. מושג העוצמה משמש כיום ככלי מרכזי בהתייחסות מתמטית ל"גודלן" של קבוצות אינסופיות (וסופיות).

נגדיר עכשיו מהי קבוצה אינסופית. בניגוד להבנה האינטואיבית של קבוצה אינסופית כ"קבוצה שלא ניתן לספור את איבריה" שבה השתמשנו עד כה. נגדיר קבוצה אינסופית באופן מדויק יותר:

קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

או לחלופין:

קבוצה היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ-A ל-A שאינה על A.

[עריכה] פרדוקסים

הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, מובילה למספר פרדוקסים. ביניהם, למשל, הפרדוקס של ראסל שעוסק בקבוצה A המוגדרת להלן:

בקבוצה A תהיה איבר כל קבוצה X שאינה איבר של עצמה.

כלומר, לכל קבוצה X, X היא איבר ב-A אם ורק אם הקבוצה X אינה איבר ב-X. נשאלת עכשיו השאלה: האם הקבוצה A היא איבר ב-A? אם כן, אז בהגדרתנו את הדרישות ל-A אז A אינה איבר של עצמה. אך אז, בהגדרת הדרישות מהקבוצה X, אז הקבוצה A היא כן איבר של עצמה. שתי אפשרויות אלה מובילות לסתירה פנימית בכך שהוכחנו משפט והיפוכו מאותה מערכת לוגית.

בעקבות סתירה זו, ובעיות נוספות, שביניהן למשל הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס לקבוצת החזקה שלה (האם היא שקולה לה?), והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי וריגורי יותר, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה מה שלרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.