Naiv halmazelmélet

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

Tartalomjegyzék 1 Története 2 A naív halmazelmélet kiindulópontja 2.1 Jelölés 2.2 Példa 3 Ki nem mondott feltételezések 4 Az ellentmondás 5 Felhasznált irodalom

[szerkesztés] Története

A halmazelmélet alapjait Georg Cantor rakta le egy 1874-ben megjelent cikkében, melyben a valós számok nem megszámlálhatóan végtelen voltát bizonyította be elsőként. Cantor gondolata az volt, hogy ne csak számok, pontok, egyenesek összességeit tekintsük, hanem ezek összességeinek összességeit, ... is. Ekkor összességek végtelen hierarchiáját alkotjuk meg gondolatban ami érdekes matematikai és filozófiai problémákat vet fel. Az 1874-es cikk eredménye azért megdöbbentő, mert kiderül: ugyan természetes számból és valós számból is végtelen sok van, de mégis valamilyen szempontból a valós számok összessége "magasabbrendűen" (nem megszámlálható módon) végtelen mint ahogy a természetes számok összessége végtelen, sőt ahogy számból, úgy végtelenből is végtelen sok van. Cantor ezzel megteremtette a végtelen számosságok elméletét. Az összességre a "menge" német szót használta, később más elnevezések is napvilágot láttak; a magyar nyelvben a halmaz szót használják matematikai szakkifejezésként. Eredményeit Dedekind, Frege és Russell is felhasználta. Szerencsétlenségükre Russell munkája során felfedezett egy ellentmondást, mely Cantor alapgondolatából következik (ez a Russell-paradoxon) és azt levélben meg is küldte Fregenek, aki ezt az érvelést az éppen nyomdába készülő könyvének utószavába be is illesztette. Ezzel 1903-ban napvilágot látott Cantor halmazelméletének ellentmondásossága. Azóta nevezik Cantor elméletét naiv (azaz kezdetleges) halmazelméletnek. (Valójában Cantor is felfedezett egy ellentmondást, ezt Cantor-paradoxon néven emlegetik.) A halmazelméletet sikerült az axiomatikus módszer segítségével megmenteni és az ismert ellentmondásaitól megszabadítani. A korban a feladatot Russell (a típuselméletben), Zermelo és Fraenkel (a Zermelo-Fraenkel halmazelméletben) és az intuicionisták a fajták elméletében oldották meg. Később más axiomatikus halmazelméletek is születtek (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet és a Bourbaki-halmazelmélet).

[szerkesztés] A naív halmazelmélet kiindulópontja

A naiv halmazelmélet hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha T valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a T tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a T tulajdonság igazságtartományának nevezzük.

[szerkesztés] Jelölés

Magát a T tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy T(x). Itt az x karaktert változónak nevezzük és azt jelképezi, hogy a T(x) kifejezés nyitott mondat, igazságértéke még nem értelmezhető. Zárt kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az x változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.

A T(x) tulajdonság igazságtartományát

-szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon x-ek összessége, melyre a T(x) tulajdonság igaz”.

[szerkesztés] Példa

Legyen T : „kutya” . Funkcionális jelölésmódban T(x): „x kutya”. Ekkor „x kutya” még nyitott mondat, zártat úgy képezhetünk belőle, ha az x változó helyére például Buksi, a kutya vagy Cirmi, a macska nevét helyettesítjük. Ekkor T(Buksi) egy, a valóságnak megfelelő állapotot leíró, tehát igaz mondat, míg T(Cirmi) nem felel meg a valóságnak, így hamis. Végeredményben képezhetjük a kutyák összességét:

[szerkesztés] Ki nem mondott feltételezések

Eddigi fejtegetésünk a logikai grammatika témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. Ma már tudjuk, hogy Cantor a fentieken felül kimondatlanul feltételezte a következőket:

1. A komprehenzivitás elve: akármilyen T(x) tulajdonság esetén, az x változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az { x | T(x) } szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a T(x) tulajdonságot.
2. Az extenzionalitás elve: Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megyegyeznek.

Cantor a menge, azaz halmaz szót használta a { x | T(x) } összesség megnevezésére. Ha valamely a dolog benne van a { x | T(x) } halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: a ∈ { x | T(x) }.

[szerkesztés] Az ellentmondás

A Russell-paradoxon feloldását mások máshogy képzelték. Gottlob Frege abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Russell maga szükségesnek tartotta szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg a hazug paradoxona mögött, a Gödel-féle nemteljességi tételekben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására. Mivel az kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot:

azaz

, így x-ben saját magát R-et szerepeltetve:

Ez utóbbi módszert, amikor egy tulajdonság változójának helyébe magát a tulajdonságot (pontosabban annak megnevezését) helyettesítjük, Cantor-féle átlós eljárásnak nevezzük. A sors fintora, hogy Cantor halmazelméletén pont a saját maga által először alkalmazott eljárás segítségével tudott Russell rést ütni.

[szerkesztés] Felhasznált irodalom

• Robert Goldblatt, TOPOI - The categorical analysis of logic, North-Holland Publ. Co., 1984 elektronikus könyvtári formában itt
• Ruzsa Imre - Máté András, Bevezetés a modern logikába, Osiris Kiadó, 1997.
• Gottlob Frege, Az aritmetika alaptörvényei II., Utószó (1903), in: Gottlob Frege, Logikai vizsgálódások - Válogatott tanulmányok, szerk.: Máté András, Osiris Kiadó, 2000.