סדרה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

ערך זה עוסק בסדרה במתמטיקה. לערך העוסק במשמעויות אחרות של המלה "סדרה", ראו סדרה (פירושונים).

במתמטיקה, סדרה היא קבוצה סדורה של עצמים, הנקראים איברי הסדרה. בסדרה, כל איבר נקבע בצורה יחידה על פי מיקומו בסדרה, כך שיכולים להיות מספר איברים בעלי ערך זהה. פורמלית, ניתן להגדיר סדרה בתור פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת האיברים שמשמשים כערכי הסדרה. בצורה זו, לכל מספר טבעי מותאם ערך כלשהו (ניתן להתאים את אותו ערך יותר מפעם אחת).

מספר האיברים הכולל בסדרה יכול להיות סופי או אינסופי. סדרה סופית מוגדרת כרשימה סדורה סופית, כלומר פונקציה שתחום ההגדרה שלה הוא קבוצה סופית.

נהוג לסמן סדרה $\left\{a_n\right\}$ , וכל איבר בסדרה בתור $\!\, a_n$ כאשר a הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-n הוא אינדקס, המציין את מספר האיבר בסדרה. למשל, בסדרה של המספרים הטבעיים $\left\{a_n\right\}=\left\{1,2,3...\right\}$ מתקיים: $\!\, a_1=1, a_2=2, a_3=3...$ .

בדרך כלל נהוג להשתמש במספרים הטבעיים כדי לציין את האינדקסים של הסדרה, אולם ניתן להשתמש בכל סוג של מספרים סודרים.

אם אברי הסדרה ניתנים להשוואה, אז אומרים על סדרה שהיא עולה ממש אם מתקיים $\!\, a_n<a_{n+1}$ ושהיא עולה (או "לא יורדת") אם מתקיים $\!\, a_n\le a_{n+1}$ . באותו אופן אומרים שהסדרה יורדת ממש אם מתקיים $\!\, a_n<a_{n+1}$ ושהיא יורדת (או "לא עולה") אם מתקיים $a_n\ge a_{n+1}$ . בשני המקרים הללו אומרים שהסדרה מונוטונית. לא כל סדרה היא מונוטונית, אבל לכל סדרה קיימת תת סדרה מונוטונית.

כאשר לסדרה יש אינסוף איברים והטווח שלה הוא מרחב טופולוגי (למשל, הישר הממשי) ניתן לדבר על ההתכנסות שלה. אומרים על סדרה שהיא מתכנסת אם ורק אם קיים לה גבול. סדרה שאיבריה שייכים למרחב מטרי (כגון הישר הממשי) היא סדרה חסומה אם קיים מספר ממשי R כך שמרחקם של אברי הסדרה מנקודה x אינו עולה על R. הסדרה היא סדרת קושי אם המרחק בין שני אברים שואף לאפס כאשר שני האינדקסים שואפים לאינסוף.

מושג הקשור באופן טבעי למושג הסדרה הוא מושג הטור.

[עריכה] תת סדרה

תת סדרה היא סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת. בצורה פורמלית, אם $\left\{a_n\right\}$ היא סדרה, וקיימת סדרה עולה ממש $\left\{n_k\right\}$ שאבריה הם קבוצה חלקית לקבוצת הסודרים של הסדרה המקורית, אז $\left\{a_{n_k}\right\}$ היא תת סדרה של $\left\{a_n\right\}$

לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה ממשית חסומה יש תת סדרה מתכנסת. מנקודת מבט טופולוגית, אפשר לתרגם זאת לטענה שהישר הממשי הוא קומפקטי סדרתית.

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: סדרות

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטיסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל לופיטל \| כלל השרשרת
האינטגרל:	אינטגרל \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה