Función de densidade

Na Galipedia, a wikipedia en galego.

En matemáticas e estatística, a Función de densidade (en inglés, probability density function: pdf) serve para representar a distribución de probabilidade en termos de integrales. Unha función de densidade de probabilidade é sempre non-neativa e a súa integral dende −∞ ata +∞ é igual a 1. Se unha distribución de probabilidade ten densidade f(x), entón, intuitivamente o intervalo infinitesimal [x, x + dx] ten probabilidade f(x) dx. A función de densidade de probabilidade pode verse como unha versión "suavizada" dun histograma: se algén mide empíricamente valores dunha variable aleatoria continua repetidamente e produce un histograma coas frecuencias relativas dos rangos de saida, entón este histograma dará lugar á densidade de probabilidade da variable aleatoria (asumindo que a variable é mostreada suficientemente a miudo e os rangos de saida son suficientemente pequenos).

Formalmente, unha distribución de probabilidade ten densidade f(x) se f(x) é unha función non-negativa Lebesgue-integrable R → R de xeito que a probabilidade do intervalo [a, b] ven dada por

$\int_a^b f(x)\,dx$

para calquera dous números a e b. Isto implica que a integral total de f debe ser 1. Á inversa, calquera función non-negativa integrable por Lebesgue con integral total 1 é a densidade de probabilidade de unha distribución de probabilidade definida axeitadamente.

Índice

1 Explicación simplificada
2 Máis detalles
3 Relación entre distribucións continuas e discretas
4 Véxase tamén

[editar] Explicación simplificada

A función de densidade de probabilidade é calquer función f(x) que describe a densidade de probabilidade en termos da variable de entrada x do seguinte xeito:

f(x) é maior ou igual a cero para tódolos valores de x
A área total baixo a gráfica é 1:

$\int_{-\infty}^\infty \,f(x)\,dx = 1$

A probabilidade actual pode ser calculada mediante a integral da función f(x) no intervalo de integración da variable de entrada x.

Por exemplo: a variable x no intervalo 4.3 < x < 7.8 tería a probabilidade

$\Pr(4.3<x<7.8) = \int_{4.3}^{7.8} f(x)\,dx.$

[editar] Máis detalles

Por exemplo, a distribución uniforme continua no intervalo [0,1] ten densidade de probabilidade f(x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1 e cero no resto. A distribución normal estándar ten densidade de probabilidade

$f(x)={e^{-{x^2/2}}\over \sqrt{2\pi}}.$

Dada unha variable aleatoria X, se a súa distribución admite a función de densidade de probabilidade f(x), entón o valor esperado de X (se existe) pode ser calculado como

$\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx.$

Non todas as distribucións de probabilidade teñen función de densidade: as distribucións de variables aleatorias discretas non teñen, tampouco a Distribución Cantor ainda que non ten compoñente discreta e non asigna probabilidade positiva a ningún punto individual.

Unha distribución ten función de densidade si e só se a súa Función de Distribución de Probabilidade F(x) é absolutamente continua. Nese caso, F é diferenciable en todo o rango, e a súa derivada pode ser usada como densidade de probabilidade:

$\frac{d}{dx}F(x) = f(x).$

Se a distribución de probabilidade admite unha densidade, entón a probabilidade de cada conxunto de un so punto {a} é cero.

É un erro común pensar que f(a) é a probabilidade de {a}, isto é incorrecto; de feito, f(a) será a miudo maior que 1 - considérese unha variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 e 1/2.

Duas densidades de probabilidade f e g representan á mesma distribución de probabilidade se so se diferencian nun conxunto de medidas cero de Legesgue.

No campo da Física estatística, unha reformulación non formal da relación entre a derivada da Función de Distribución de Probabilidade e a función de densidade de probabilidade é usada como a definición da función de densidade de probabilidade. Esta definición alterntativa é a seguinte:

Se dt é un número infinitamente pequeno, a probabilidade de que $X$ esté incluido no intervalo [t, t + dt] é igual a $f(t)\,dt$ , ou:

$\Pr(t<X<t+dt) = f(t)\,dt~$

[editar] Relación entre distribucións continuas e discretas

A definición da función de densidade de probabilidade fai posible describir á variable asociada con unha distribución continua usando un conxunto de variables binarias discretas asociadas cos intervalos [a;b] (por exemplo, unha variable con valor 1 se X está en [a;b], e 0 se non).

É posible tamén representar certas variables aleatorias discretas usando unha densidade de probabilidade mediante a Función delta de Dirac. Por exemplo, consideremos unha variable aleatoria discreta binaria tomando como valores -1 e 1, con probabilidade 1/2 cada un, a densidade de probabilidade asociada con esta variable é:

$f(t) = \frac{1}{2}(\delta(t+1)+\delta(t-1))$ .

Máis xeralmente, se unha variable discreta pode tomar 'n' valores diferentes entre os números reais, entón a función de densidade de probabilidade asociada é:

$f(t) = \frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nP_i\, \delta(t-x_i)$ , onde $x_1, \ldots, x_n$ son os valores discretos posibles da variable e $P_1, \ldots, P_n$ son as probabilidades asociadas con cada un desde valores.

Esta expresión permite determinar características estatísticas de dita variable discreta (como a súa media, varianza e curtose), mediante as fórmulas dadas para unha distribución continua.

Na física, esta descripción é tamén util para caracterizar matemáticamente a configuración inicial dun movemento Browniano.