Variedad diferenciable

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En Topología y Geometría, una variedad es, intuitivamente hablando, una generalización, a cualquier número de dimensiones, del concepto de superficie. En dimensión 1, una variedad es una curva. En dimensión 2, una superficie. Una variedad es diferenciable, informalmente hablando, si cada uno de sus puntos tiene espacio tangente, es decir, no tiene "picos" ni "filos".

Tabla de contenidos

1 Definición formal.

[editar] Definición formal.

Existen al menos dos maneras de definir lo que es una variedad diferenciable, ambas equivalentes: por medio de parametrizaciones o por medio de aplicaciones coordenadas. La diferencia es sutil, pero importante, aunque ambas maneras de definir las variedades diferenciables son, como se ha dicho, equivalentes.

Lo importante de ambas definiciones es que, localmente, una variedad es difeomorfa a un espacio euclídeo. Con más rigor, en ambas se pone de manifiesto que, para cada punto de la variedad, existe un homeomorfismo entre un entorno del punto y un abierto de un espacio euclídeo (el mismo espacio en toda la variedad), y que la composición de dischos homeomorfismo es diferenciable.

Además, en el caso de espacios euclídeos existe una serie de definiciones equivalentes que son más sencillas que en el caso general.

Hay una cierta confusión sobre la terminología variedad diferenciable de clase $r$ , variedad diferenciable y variedad suave. No todos los textos siguen la misma terminología. Lo que está claro es que cuando se habla de variedad diferenciable de clase $r$ se entiende cualquiera de las dos definiciones siguientes, mientras que cuando se habla de variedad suave se entiende que es una variedad diferenciable de clase $r$ para todos los números enteros $r\geq 0$ . La confusión está en el uso que se le dé al término variedad diferenciable, pues algunos autores consideran que es lo mismo que variedad suave y otros que es lo mismo que variedad diferenciable de clase $r$ . En cualquier caso todos los textos indican qué entienden por variedad diferenciable para evitar confusiones.

[editar] Definición mediante parametrizaciones.

Sea $M$ un conjunto (en principio pudiera ser vacío, pero es un caso trivial), $n \geq 0$ y $r \geq 0$ dos números enteros, una familia $\{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \}$ en la que cada $U_{\lambda} \subset \mathbb{R}^n$ es un abierto y cada $x_{\lambda}: U_{\lambda} \longrightarrow M$ una aplicación inyectiva, de manera que se cumpla que:

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} x_{\lambda} (U_{\lambda}) = M$ ,
dados cualesquiera dos $\alpha, \beta \in \Lambda$ de forma que $x_{\alpha} (U_{\alpha}) \cap x_{\beta} (U_{\beta}) = W \neq \varnothing$ ha de ocurrir que $x^{-1}_{\alpha}(W)$ y $x^{-1}_{\beta}(W)$ son abiertos de $\mathbb{R}^n$ y la aplicación $x^{-1}_{\alpha} \circ x_{\beta}$ es diferenciable de orden $r$ en $U α$ (i.e., $x^{-1}_{\alpha} \circ x_{\beta} \in C^r(U_{\alpha})$ ).

bajo estas condiciones, cada par $(U λ, x λ)$ de manera que $p \in x_{\lambda} (U_{\lambda}) \subset M$ se denomina una carta local o sistema de coordenadas de $M$ en $p$ , $x λ$ se denomina parametrización de $M$ para $p$ , $x λ (U λ)$ se denomina entorno coordenado de $p$ , y la familia $\{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \}$ es denominada una atlas sobre $M$ . Si un atlas $A$ es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todos los atlas sobre $M$ (por supuesto bajo las condiciones 1 y 2, ya que de otra manera no sería atlas) se dice que el atlas $A$ es una estructura diferenciable sobre $M$ .

El conjunto $\{ G \subset M: x^{-1}_{\lambda}(G) \in \tau(U_{\lambda}) , \lambda \in \Lambda \}$ (donde aquí $τ(U λ)$ representa la topología del conjunto $U λ$ ) no es otra cosa que la topología final en $M$ para la familia $\{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \}$ . Cuando se toma una estructura diferenciable $A$ sobre $M$ y la topología final en $M$ para esa estructura diferenciable hace de $M$ un espacio topológico que cumple el segundo axioma de numerabilidad y la propiedad de Hausdorff, entonces se dice que el par $(M, A)$ formado por el conjunto $M$ y la estructura diferenciable $A$ sobre $M$ es una variedad topológica de dimensión $n$ y clase $r$ . Cuando además $r > 0$ , entonces se dice que $(M, A)$ es una variedad diferenciable (de dimensión $n$ y clase $r$ ).

[editar] Definición mediante aplicaciones coordenadas.

Un espacio localmente euclídeo de dimensión $n \geq 0$ (donde $n$ es un número entero) es un espacio topológico $M$ con la propiedad de Hausdorff y en el que para cada $p \in M$ existe un entorno abierto conexo $U_p \subset M$ y un homeomorfismo $\varphi_p: U_p \longrightarrow V_p$ , siendo $V_p \subset \mathbb{R}^n$ (por supuesto, $V p$ será conexo y abierto por ser $\varphi_p$ un homeomorfismo). Un par $(U_p, \varphi_p)$ bajo estas condiciones se denomina sistema coordenado sobre $M$ para $p$ , y la aplicación $\varphi_p$ se denomina aplicación coordenada para $p$ . Además, si para cada $j \in \{1,...,n\} \subset \mathbb{Z}$ convenimos en representar por $r j$ a la función $r_j:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ que a cada $q = (q_1,...,q_n) \in \mathbb{R}^n$ le hace corresponder $r j (q) = q j$ (es decir, la $j$ -ésima coordenada de $q$ ), denominaremos a la aplicación $x_j = r_j \circ \varphi_p$ como la función coordenada para $p$ .

Dado un espacio localmente euclídeo $M$ y un número entero $r \geq 0$ , una estructura diferenciable $F$ de clase $r$ sobre $M$ es una familia $\{ (U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \}$ de sistemas coordenados sobre $M$ de manera que se cumpla que:

$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} = M$ ,
dados cualesquiera dos $\alpha, \beta \in \Lambda$ ha de ocurrir que la aplicación $\varphi_{\alpha} \circ \varphi^{-1}_{\beta}$ es diferenciable de orden $r$ en $V β$ (i.e., $\varphi_{\alpha} \circ \varphi^{-1}_{\beta} \in C^r(V_{\beta})$ , donde $V_{\beta} = \varphi_{\beta}(U_{\beta})$ ),
$F$ es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todos las familias de entornos coordenados sobre $M$ bajo las condiciones 1 y 2.

Se dice que el par $(M, F)$ formado por el espacio localmente euclídeo $M$ y la estructura diferenciable $F$ sobre $M$ es una variedad topológica de dimensión $n$ y clase $r$ si $M$ cumple el segundo axioma de numerabilidad. Cuando además $r > 0$ , entonces se dice que $(M, F)$ es una variedad diferenciable (de dimensión $n$ y clase $r$ ).

[editar] Definiciones de variedad diferenciable en espacios euclídeos.

Existen al menos cuatro maneras (todas equivalentes entre sí) de definir una variedad diferencial cuando se las considera como subconjuntos de un espacio euclídeo. Cada una de ellas es útil, y dependiendo del contexto o de la dificultad del problema se usará una u otra, o incluso se combinarán varias a la vez.

[editar] Representación implícita de una variedad diferenciable.

Sea $E$ un espacio euclídeo de dimensión $n \geq 0$ y sea $S \subset E$ . Diremos que $S$ es una variedad diferenciable en $E$ de dimensión $k$ (donde $0 \leq k \leq n$ es un número entero) y clase $C r$ (donde $r \geq 1$ es un número entero) si para cada $x_0 \in S$ existe un entorno abierto $U \subset E$ de $x 0$ y una aplicación $\Phi: U \longrightarrow \mathbb{R}^{n-k}$ de manera que:

$Φ$ es de clase $r$ sobre $U$ (esto es, $\Phi \in C^r(U)$ ),
la matriz jacobiana de $Φ$ tiene rango $n - k$ (es decir, $r a n g [D Φ(x 0)] = n - k$ ),
$S \cap U = \{x \in U:\Phi (x)=0\}$ .

A la igualdad $Φ(x) = 0$ la llamaremos representación implícita local de la variedad $S$ en el punto $x 0$ , o simplemente diremos que la variedad viene dada implícitamente por $Φ$ en $x 0$ .

Si existe un abierto $V \subset E$ y una aplicación $\Phi \in C^r(V)$ (donde $r \geq 1$ es un número entero) de manera que $S=\{x \in V: \Phi(x) = 0, rang[D\Phi(x)] = n-k\} \neq \varnothing$ , a la igualdad $Φ(x) = 0$ se la denomina representación implícita global de la variedad, o se dice simplemente que la variedad viene dada implícitamente por $Φ$ . En este caso podemos tomar como representación implícita local para cada punto de $S$ el abierto $U = \{x \in V: rang[D\Phi(x)]= n-k\}$ y la aplicación $Φ$ .

[editar] Representación explícita de una variedad diferenciable.

una base $< u 1, u 2,..., u n >$ de $E$ ,
un abierto $V \subset E_1$ de $z_0 := x_0^1 u_1 + x_0^2 u_2 + ... + x_0^k u_k$ , donde se define el subespacio $E 1$ como el espacio generado por ${u 1,..., u k}$ ,
un abierto $W \subset E_2$ de $y_0 := x_0^{k+1} u_{k+1} + x_0^{k+2} u_{k+2} + ... + x_0^n u_n$ , donde se define el subespacio $E 2$ como el espacio generado por ${u k + 1,..., u n}$ ,
una aplicación $f: V \longrightarrow W$ de clase r sobre V (esto es, $f \in C^r(V)$ )de manera que $f (z 0) = y 0$ y $S \cap (V \times W) = \{ (z,f(z)) \in E_1 \times E_2 : z \in V\}$ .

La última condición equivale a decir que $S \cap (V \times W)$ es la gráfica $G r (f)$ de $f$ . A la igualdad $y = f(z), z \in V$ , o simplemente a la aplicación $f$ , se le denomina representación explícita local de la variedad $S$ en el punto $x 0$ . Si existe una única aplicación $f$ tal que $S = G r (f)$ , entonces $f$ se denomina representación explícita global de la variedad.

[editar] Representación difeomórfica local de una variedad diferenciable.

Sea $E$ un espacio euclídeo de dimensión $n \geq 0$ y sea $S \subset E$ . Diremos que $S$ es una variedad diferenciable en $E$ de dimensión $k$ (donde $0 \leq k \leq n$ es un número entero) y clase $C r$ (donde $r \geq 1$ es un número entero) si para cada $x_0 \in S$ existe un entorno abierto $U_0 \subset E$ de $x 0$ y una aplicación $\Psi: U_0 \longrightarrow \mathbb{R}^n$ de manera que:

$Ψ$ es un difeomorfismo de clase $r$ entre $U 0$ y su imagen (esto es, $\Psi \in C^r(U_0)$ es inyectiva),
$\Psi(S \cap U_0) = \Psi(U_0) \cap (\mathbb{R} \times \{0\}^{n-k})$ .

A la aplicación $Ψ(x) = 0$ la llamaremos representación difeomórfica local de la variedad $S$ en el punto $x 0$ .

Hay que observar que, a consecuencia de ser $Ψ$ difeomorfismo local y $U 0$ abierto, $Ψ(U 0)$ es también un abierto de $\mathbb{R}^n$ .

[editar] Representación paramétrica de una variedad diferenciable.

Sea $E$ un espacio euclídeo de dimensión $n \geq 0$ y sea $S \subset E$ . Diremos que $S$ es una variedad diferenciable en $E$ de dimensión $k$ (donde $0 \leq k \leq n$ es un número entero) y clase $C r$ (donde $r \geq 1$ es un número entero) si para cada $x_0 \in S$ existe un entorno abierto $U_1 \subset E$ de $x 0$ , un abierto no vacío $V \subset \mathbb{R}^k$ , un elemento $t_0 \in V$ y una aplicación $\varphi: V \longrightarrow E$ de manera que:

$\varphi(t_0)=x_0$ ,
la jacobiana $D\varphi(t_0)$ de $\varphi$ en $t 0$ es inyectiva,
$\varphi$ es un homeomorfismo de clase $r$ sobre $V$ (esto es, $\varphi \in C^r(V)$ es continua, abierta e inyectiva) entre $V$ y $S \cap U_1$ (con la topología relativa).