Vikipedio:Projekto matematiko/Grupo de Heisenberg

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Grupo de Heisenberg
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la Grupo de Heisenberg, nomis post _Werner_ Heisenberg-a, estas grupo de 3×3 supraj triangulaj matricoj de la (formo, formi)

$\begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}.$

Eroj a,b,c povas esti prenita de iu () komuta ringo.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

(mi) Se a,b,c estas reelaj nombroj (en la ringo R) tiam ni preni la kontinua Grupo de Heisenberg. Ĝi estas (nulpotenca, nilpotenta) Grupo de Lie.

(ii) Se a,b,c estas (entjeroj, entjeras) (en la ringo Z) tiam ni preni la diskreta Grupo de Heisenberg H₃. Ĝi estas ne-abela (nulpotenca, nilpotenta) grupo. Ĝi havas du (naskantoj, naskantas, generiloj, generas)

$x=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix},\ \ y=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

kaj rilatoj

$z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\ xz=zx,\ yz=zy$ ,

kie

$z=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

estas la generilo de la centro de H₃. Per Baso' teoremo, ĝi havas polinoma kreska kurzo de (mendi, ordo) 4.

(_iii_) Se unu prenas a,b,c en Z/p Z, tiam ni preni la Grupo de Heisenberg module p. Ĝi estas grupo de (mendi, ordo) p³ kun du (naskantoj, naskantas, generiloj, generas), x, y kaj rilatoj

$z^{}_{}=xyx^{-1}y^{-1},\ x^p=y^p=z^p=1,\ xz=zx,\ yz=zy$ .

[redaktu] Ĝenerala Grupo de Heisenberg

Estas pli ĝenerala Heisenberg-a (grupoj, grupas) H_n. Ni komenci per diskutanta la (Reala, Reela) Grupo de Heisenberg de dimensio 2n+1, por (ĉiu, iu) entjero n ≥ 1. Kiel grupo de matricoj, H_n (aŭ H_n(R) al indiki ĉi tiu estas la Grupo de Heisenberg super la ringo R) estas difinita kiel la grupo de kvadrataj matricoj de amplekso n+2 kun elementoj en R:

$\begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & I_n & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

kie a estas (linio, vico) vektoro de longo n, b estas kolumna vektoro de longo n kaj $I n$ estas la identa matrico de amplekso n. Ĉi tiu estas ja grupo, kiel estas montrita per la multipliko:

$\begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & I_n & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}1 & a' & c' \\ 0 & I_n & b' \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a+ a' & c+c' +a b' \\ 0 & I_n & b+b' \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

kaj

$\begin{bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & I_n & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}1 & -a & -c +a b\\ 0 & I_n & -b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & I_n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

La Grupo de Heisenberg estas koneksa, simple-koneksa Grupo de Lie kies (Mensogi, Kuŝi) algebro konsistas de matricoj

$\begin{bmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0_n & b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$

kie a estas (linio, vico) vektoro de longo n, b estas kolumna vektoro de longo n kaj 0_n estas la nula matrico de amplekso n. La eksponenta funkcia surĵeto estas donita per jena esprimo

$\exp \begin{bmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0_n & b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\begin{bmatrix} 0 & a & c \\ 0 & 0_n & b \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^k = \begin{bmatrix} 1 & a & c + {1\over 2}a b\\ 0 & I_n & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$

Per elektanta bazo e₁, ..., e_n de Rⁿ, kaj lasanta

$p_i = \begin{bmatrix} 0 & \operatorname{e}_i & 0 \\ 0 & 0_n & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$q_j = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0_n & \operatorname{e}_j^{\mathrm{T}} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$z = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0_n & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

la (Mensogi, Kuŝi) algebro povas ankaŭ esti karakterizita per la kanona _commutation_ rilatoj

$[p_i, q_j] = \delta_{ij}z \quad$

$[p_i, z] = 0 \quad$

$[q_j, z] = 0 \quad$

kie p₁, .., p_n, q₁, .., q_n, z estas (naskantoj, naskantas, generiloj, generas). En aparta, z estas centra ero de la Heisenberg-a (Mensogi, Kuŝi) algebro. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) la (Mensogi, Kuŝi) algebro de la Grupo de Heisenberg estas (nulpotenca, nilpotenta). La eksponenta funkcia surĵeto de (nulpotenca, nilpotenta) (Mensogi, Kuŝi) algebro estas _diffeomorphism_ inter la (Mensogi, Kuŝi) algebro kaj la unika asociita koneksa, simple-koneksa Grupo de Lie.

Ĉi tiu grupo okazas ne nur en kvantummekaniko sed en la teorio de θ funkcioj; ĝi estas ankaŭ uzita en Analitiko de Fourier. Ĉi tiu grupo estas ankaŭ uzita en iu (formulaĵoj, formulaĵas) de la Ŝtono-_von_ Neumann-a teoremo.

La pli supre diskuto (_aside_ de (propozicioj, frazoj, ordonoj) referanta al dimensio kaj Grupo de Lie) aplikas se ni anstataŭigi R per (ĉiu, iu) komuta ringo A. La (korespondanta, respektiva) grupo estas signifita H_n(A). Sub la aldona (premiso, supozo) (tiu, ke, kiu) la primo 2 estas inversigebla en la ringo A la eksponenta funkcia surĵeto estas ankaŭ difinis, ekde ĝi reduktas al finia (sumo, sumi) kaj havas la (formo, formi) pli supre (kio estas A povis esti ringo Z/_pZ_ kun nepara primo p aŭ (ĉiu, iu) kampo de karakterizo 0).

[redaktu] La ligo kun la Algebro de Weyl

La (Mensogi, Kuŝi) algebro $\mathfrak{h}_n$ de la Grupo de Heisenberg estis priskribita pli supre kiel (Mensogi, Kuŝi) algebro de matricoj. Ni nun apliki la _Poincaré_-_Birkhoff_-_Witt_ teoremo, al difini la universala kovertanta algebro $\mathfrak{U}(\mathfrak{h}_n)$ . Inter aliaj propraĵoj, la universala kovertanta algebro estas asocieca algebro enen kiu $\mathfrak{h}_n$ (disĵete, enjekcie) _imbeds_. Per _Poincaré_-_Birkhoff_-_Witt_, ĝi estas la libera vektora spaco generita per la (unutermoj, unutermas, monomoj, monomas)

$z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n}$

kie la eksponentoj estas ĉiuj nenegativa. Tial $\mathfrak{U}(\mathfrak{h}_n)$ konsistas de (reala, reela) (polinomoj, polinomas)

$\sum_{\vec{k} \vec{\ell}} c_{j \ \vec{k} \ \vec{\ell}}\quad z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n}$

kun la _commutation_ rilatoj

$p_k p_\ell = p_\ell p_k, \quad q_k q_\ell = q_\ell q_k, \quad p_k q_\ell - q_\ell p_k = \delta_{k \ell} z, \quad z p_k - p_k z =0, \quad z q_k - q_k z =0$

$\mathfrak{U}(\mathfrak{h}_n)$ estas proksime rilatanta al la algebro de diferencialaj operatoroj sur Rⁿ kun polinomaj koeficientoj, ekde (ĉiu, iu) tia operatoro havas unika prezento en la (formo, formi):

$P = \sum_{\vec{k} \vec{\ell}} c_{\vec{k} \vec{\ell}}\quad \partial_{x_1}^{k_1} \partial_{x_2}^{k_2} \cdots \partial_{x_n}^{k_n} x_1^{\ell_1} x_2^{\ell_2} \cdots x_n^{\ell_n}$

Ĉi tiu algebro estas (nomita, vokis) la Algebro de Weyl. Ĝi sekvas de abstrakta (sensencaĵo, galimatio) (tiu, ke, kiu) la Algebro de Weyl W_n estas kvociento de $\mathfrak{U}(\mathfrak{h}_n)$ . Tamen, ĉi tiu ankaŭ facila al vidi rekte de la pli supre prezentoj; _viz_, per la surĵeto

$z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n} \rightarrow \partial_{x_1}^{k_1} \partial_{x_2}^{k_2} \cdots \partial_{x_n}^{k_n} x_1^{\ell_1} x_2^{\ell_2} \cdots x_n^{\ell_n}.$

[redaktu] _Weyl_'s vido de kvantummekaniko

Vidi ĉefa artikolo _Weyl_ kvantumigo.

La apliko (tiu, ke, kiu) gvidis _Hermann_ _Weyl_ al eksplicita enkonduko de la Grupo de Heisenberg estis la demando de kial la Schrödinger-a bildo kaj Bildo de Heisenberg estas fizike ekvivalento. Abstrakte estas bona ekspliko: la grupo H_n estas centra vastigaĵo de R^_2n_ per (kopio, kopii) de R, kaj kiel tia estas duonrekta (produkto, produto). Ĝia prezenta teorio estas relative simpla (speciala okazo de la poste _Mackey_ teorio), kaj en aparta estas unikeca rezulto por unuargumentaj prezentoj kun donita ago de la centra ero z (en la (Mensogi, Kuŝi) algebro) aŭ la unu-parametra subgrupa ĝi kreas sub la eksponenta funkcia surĵeto, kiu estas la centra vastigaĵo. Ĉi tiu abstrakta unikeco (kontoj, kalkuloj, kontas, kalkulas) por la ekvivalento de la du fizika (bildoj, bildas).

La sama unikeca rezulto estis uzita per Davido _Mumford_ por diskreta Heisenberg-a (grupoj, grupas), en lia teorio de abelaj diversaĵoj. Ĉi tiu estas granda ĝeneraligo de la (maniero, proksimiĝi, proksimiĝo) uzita en Jakobiaj elipsaj funkcioj, kiu estas la (kesto, okazo) de la module 2 Grupo de Heisenberg, de (mendi, ordo) 8.

[redaktu] Kiel sub-Rimana dukto

La tri-dimensia Grupo de Heisenberg H₃(R) sur la reelaj nombroj povas ankaŭ esti komprenita al esti glata (dukto (matematiko), dukto), kaj aparte, simpla ekzemplo de sub-Rimana dukto. Donita punkto p=(x,y,z) en R³, difini diferencialo 1-(formo, formi) Θ je ĉi tiu punkto kiel

$\Theta_p=dz -\frac{1}{2}\left(xdy - ydx\right)$ .

Ĉi tiu unu-formo apartenas al la kotangenta pakaĵo de R³; tio estas,

$\Theta_p:T_p\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$

estas mapo sur la tangenta pakaĵo. Estu

$H_p = \{ v\in T_p\mathbb{R}^3 \; s.t.\;\; \Theta_p(v) = 0 \}$

Ĝi povas vidiĝi (tiu, ke, kiu) H estas _subbundle_ de la tangenta pakaĵo TR³. _Cometric_ sur H estas donita per (projekcianta, projektanta) (vektoroj, vektoras) al la du-dimensia spaco (naskis, generita) per (vektoroj, vektoras) en la x kaj y direkto. Tio estas, donita (vektoroj, vektoras) $v = (v 1, v 2, v 3)$ kaj $w = (w 1, w 2, w 3)$ en TR³, la ena (produkto, produto) estas donita per

$\langle v,w\rangle = v_1w_1+v_2w_2$

La rezultanta strukturo (kurbiĝoj, kurbiĝas, turnas, tornas, kurbigas) H enen la (dukto (matematiko), dukto) de la Grupo de Heisenberg. Ortnormala kadro sur la (dukto (matematiko), dukto) estas donita per la (Mensogi, Kuŝi) vektoraj kampoj

$X=\frac{\partial}{\partial x} - \frac{1}{2} y\frac{\partial}{\partial z}$

$Y=\frac{\partial}{\partial y} + \frac{1}{2} x\frac{\partial}{\partial z}$

$Z=\frac{\partial}{\partial z}$

kiu obei la rilatoj [X,Y]=Z kaj [X,Z]=[Y,Z]=0. Estante (Mensogi, Kuŝi) vektoraj kampoj, ĉi tiuj (formo, formi) (maldekstre, restita)-invarianta bazo por la grupa ago. La geodezio sur la (dukto (matematiko), dukto) estas (spiraloj, spiralas), (projekcianta, projektanta) suben al cirkloj en du (dimensioj, dimensias). Tio estas, se

γ(t) = (x (t), y (t), z (t))

estas geodezia kurbo, tiam la kurbo $c (t) = (x (t), y (t))$ estas arko de cirklo, kaj

$z(t)=\frac{1}{2}\int_c xdy-ydx$

kun la integralo (limigita, limigis) al la du-dimensia ebeno. Tio estas, la alto de la kurbo estas proporcie kun la areo de la cirklo (substreĉita, substreĉis) per la cirkulera arko, kiu sekvas per Hejtas teoremo.

[redaktu] Vidi ankaŭ

Wigner-a kvazaŭ-probablodistribuo

[redaktu] Referencoj

_Richard_ _Montgomery_, A Vojaĝo de _Subriemannian_ (Geometrioj, Geometrias), Ilia Geodezio kaj Aplikoj (Matematikaj Katastroj kaj (Monografioj, Monografias), Volumeno 91), (2002) Amerika Matematika Socio, ISBN 0-8218-1391-9.

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Grupo_de_Heisenberg_bd91.html"

We provide Linux to the World