Zobrazení (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Zobrazení je v matematice předpis, jak přiřazovat prvkům nějaké množiny jednoznačně prvky obecně jiné množiny. Pojem zobrazení má většinou stejný význam jako pojem funkce. Název funkce se však častěji používá speciálně pro zobrazení do číselných množin.

[editovat] Definice zobrazení

Zobrazení $f$ se definuje

$f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ ,

kde $\mathcal{A}$ a $\mathcal{B}$ jsou množiny. První množině se říká definiční obor, značí se často $\mathcal{D}_f$ . Jednoznačnost zobrazení je důležitá a znamená, že každý prvek vzoru se zobrazí na právě jeden prvek v obrazu.

V teorii množin se zobrazení definuje jako relace R splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

$(\forall x \in \mathrm{dom}(R)) ((\exists y)(\langle x,y \rangle \in R)\ \and\ (\forall y_{1},y_{2})((\langle x,y_{1}\rangle \in R\ \and\ \langle x,y_{2} \rangle \in R)\implies (y_{1}=y_{2})) )$

Pokud je relace R zobrazení, píšeme místo $\langle x,y \rangle \in R$ častěji $\ R(x)=y$ .

Pokud není třeba zobrazení pojmenovávat, používá se zkrácené značení

$f\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$

Skutečnost, že se prvek $x$ množiny $\mathcal{A}$ zobrazí na prvek $y$ množiny $\mathcal{B}$ , zapisujeme

y = f (x)

[editovat] Vzor a obraz množiny

Obraz množiny $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}$ je množina $\mathcal{Y} \subseteq \mathcal{B}$ , na kterou se zobrazí $\mathcal{X}$ , značíme

$\mathcal{Y} = f(\mathcal{X})$

Speciálním případem obrazu je obraz celého definičního oboru, kterému se říká obor hodnot

$\mathcal{R}_f = f(\mathcal{D}_f)$

Vzor množiny $\mathcal{Y}$ je množina $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}$ , která se na množinu $\mathcal{Y}$ zobrazí, značíme

$\mathcal{X} = f^{-1}(\mathcal{Y})$

Množina všech vzorů je tedy definičním oborem, množina všech obrazů je oborem hodnot.

[editovat] Příklad zobrazení

Mějme množiny $\mathcal{A} = \{1, 2, 3, 4\}$ a $\mathcal{B} = \{a, b, c, d\}$ . Můžeme napříkad definovat zobrazení $f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ jako

$1 \rightarrow a$
$2 \rightarrow c$
$3 \rightarrow d$
$4 \rightarrow c$

Oborem hodnot $\mathcal{R}_f = f(\mathcal{A})$ je tedy množina ${a, c, d}$ . Vzorem množiny ${c}$ je množina ${2,4}$ . Jeden prvek v $\mathcal{B}$ tedy může mít více než jeden vzor v $\mathcal{A}$ . Ale každý prvek $\mathcal{A}$ se zobrazí na právě jeden prvek v $\mathcal{B}$ .

Příklady zobrazení.

Na obrázku jsou uvedeny příklady zobrazení $A \rightarrow B$ . Na a) je příklad kdy se nejedná o zobrazení. Na b) je příklad prostého zobrazení množiny $A$ do množiny $B$ . Na c) je vzájemně jednoznačné zobrazení $A$ na $B$ . Na d) je zobrazení, které není prosté.

[editovat] Víceznačné zobrazení

Jak vyplývá z uvedene definice zobrazení, název víceznačné zobrazení je matematický oxymoron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení

$\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$