قطار اور ستون فضا

وکیپیڈیا سے

تعریف: ایک میٹرکس کی قطاروں کو قطار سمتیہ کہا جاتا ہے، یعنی ان کو $\mathbb{R}^n$ سمتیہ فضا میں سمتیہ سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر میٹرکس $A= \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \end{matrix}\right]$ کے دو قطار سمتیہ، فضاء $\mathbb{R}^3$ میں یہ ہیں: $r_0 = \left[\begin{matrix} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \end{matrix}\right],$ $r_1 = \left[\begin{matrix} a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \end{matrix}\right],$

تعریف: ایک میٹرکس کے ستونوں کو ستون سمتیہ کہا جاتا ہے، یعنی ان کو $\mathbb{R}^n$ سمتیہ فضا میں سمتیہ سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر میٹرکس A کے تین ستون سمتیہ، فضاء $\mathbb{R}^2$ میں یہ ہیں: $c_0 = \left[\begin{matrix} a_{0,0} \\ a_{1,0} \end{matrix}\right],$ $c_1 = \left[\begin{matrix} a_{0,1} \\ a_{1,1} \end{matrix}\right],$ $c_2 = \left[\begin{matrix} a_{0,2} \\ a_{1,2} \end{matrix}\right],$

[ترمیم کریں] قطار فضا

میٹرکس کے قطار سمتیوں کے لکیری جوڑ سے جو سمتیہ فضا بنتی ہے اسے قطار فضا کہتے ہیں۔ یعنی قطار سمتیہ کو عبری سمتیہ کے بطور استعمال کرتے ہوئے $\mathbb{R}^n$ کی جو سمتیہ ذیلی فضا عبور ہوتی ہے، وہ قطار فضا کہلائے گی۔ اوپر کی مثال میں لکیری جوڑ
$\beta_0 r_0 + \beta_1 r_1 \,,\, \beta_i \in \mathbb{R}$
سے پیدا ہونے والی $\mathbb{R}^3$ کی ذیلی فضا کو اس میٹرکس A کی قطار فضا کہیں گے۔

[ترمیم کریں] ستون فضا

میٹرکس کے ستون سمتیوں کے لکیری جوڑ سے جو سمتیہ فضا بنتی ہے اسے ستون فضا کہتے ہیں۔ یعنی ستون سمتیہ کو عبری سمتیہ کے بطور استعمال کرتے ہوئے $\mathbb{R}^n$ کی جو سمتیہ ذیلی فضا عبور ہوتی ہے، وہ ستون فضا کہلائے گی۔ اوپر کی مثال میں لکیری جوڑ
$\beta_0 c_0 + \beta_1 c_1 + \beta_2 c_2 \,,\, \beta_i \in \mathbb{R}$
سے عبور ہونے والی $\mathbb{R}^2$ کی ذیلی فضا کو اس میٹرکس A کی ستون فضا کہیں گے۔

[ترمیم کریں] بُعد فضا

کسی بھی میٹرکس کی قطار فضا اور ستون فضا کے بُعد فضا (dimension) برابر ہوتے ہیں۔ اور یہ بعد میٹرکس کا رتبہ کہلاتا ہے۔ غور کرو ک ایک $\ m \times n$ میٹرکس کا رتبہ $\ \min(m, n)$ کے برابر یا اس سے کم ہو گا۔

[ترمیم کریں] مثلئہ اثباتی

ایک میٹرکس A جس کے ستونوں کی تعداد n ہو، اس میٹرکس کے رتبہ (rank) اور میٹرکس کی "عدیمہ فضا کے بُعد" (nullity) کی جمع n ہو گی۔ یعنی

rank(A) + nullity(A) = n

              اردو ویکیپیڈیا پر مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ           ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%82/%D8%B7/%D8%A7/%D9%82%D8%B7%D8%A7%D8%B1_%D8%A7%D9%88%D8%B1_%D8%B3%D8%AA%D9%88%D9%86_%D9%81%D8%B6%D8%A7.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

We provide Linux to the World

قطار اور ستون فضا

وکیپیڈیا سے

فہرست

[ترمیم کریں] قطار فضا

[ترمیم کریں] ستون فضا

[ترمیم کریں] بُعد فضا

[ترمیم کریں] مثلئہ اثباتی

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں