Geoid

Wikipedia

En geoid (av grekiska: geo, jord och eides, liknande) är en ekvipotentiell yta (ytan som motsvarar ett specifikt värde) som ungefär sammanfaller med havsytans genomsnittliga nivå. Den sägs ofta vara en nära återgivning eller fysisk modell av jordens äkta form och enligt C. F. Gauss är geoiden en "matematisk bild av jorden" eller, egentligen, av dess gravitationsfält.

Geoidens yta är mer oregelbunden än rotationsellipsoidens, som ofta används för att ungefärligen beskriva den fysiska jordens form, men betydligt jämnare än jordens fysiska yta. Medan den senare har har toppar på över 8 000 meter (Mount Everest) och dalar på under 11 000 meter (Marianergraven) varierar geoiden enbart med omkring ±100 m från rotationsellipsoiden.

En konsekvens av att geoiden är en ekvipotentiell yta är att tyngdkraften är vinkelrät mot geoiden i varje punkt. Detta gör att havsytan skulle anta en form som sammanfaller med geoiden om havsvattnet fick verka fritt, oberoende av andra krafter och kontinenternas landmassor. Geodeter kan beräkna höjden hos punkter på kontinenterna ovanför denna tänkta men fysiskt definierade yta genom en teknik som kallas avvägning.

Till sjöss kan inte undulationerna (avvikelserna) hos geoiden iakttas - en lokal vertikal är alltid rätvinklig och en lokal horisont alltid är tangentiell mot den. En GPS-mottagare ombord skulle dock kunna visa höjdvariationerna relativt mot den (matematiskt definierade) referensellipsoiden vars centrum sammanfaller med jordens masscentrum, samma punkt som utgör satellitbanornas centrum.

[redigera] Harmoniska sfäravbildningar

Sfärisk harmonik används ofta för att approximera geoidens form. Den bästa samlingen av harmoniska sfärkoefficienter för närvarande är EGM96 (Earth Gravity Model 1996) som fastställdes vid ett internationellt samarbetsprojekt som leddes av NIMA. Den omfattar en komplett uppsättning av koefficienter och beskriver så små detaljer som 55 km i den globala geoiden.

Den matematiska beskrivningen av denna modell lyder:

$V=\frac{GM}{r}\left(1+{\sum_{n=2}^{360}}\left(\frac{a}{r}\right){\sum_{m=0}^n} \overline{P}_{nm}(\sin\phi)\left[\overline{C}_{nm}\cos m\lambda+\overline{S}_{nm}\sin m\lambda\right]\right),$

där

$\phi\$ och $\lambda\$ är den geocentriska (sfäriska) latituden och longituden,
$\overline{P}_{nm}$ är den fullt normaliserade Legendrefunktionen av grad $n\$ och ordning $m\$ och
$\overline{C}_{nm}$ och $\overline{S}_{nm}$ är modellens koefficienter.

Den ovanstående formeln ger Jordens gravitionella potential $V\$ vid positionen $\phi,\;\lambda,\;r,\$ där koordinaten $r\$ är den geocentriska radien, det vill säga avståndet från jordens centrum. Gradient hos denna potential ger även en modell av den gravitionella accelerationen. Man kan visa att där finns

$\sum_{k=2}^n 2k+1 = n(n+1) + n - 3 = 130,317$

olika koefficienter (inklusive både $\overline{C}_{nm}$ och $\overline{S}_{nm}$ ). För många användningsområden är den kompletta serien onödigt komplex och trunkteras efter ett fåtal (ungefär efter några dussin) termer.