D'Alembertovo načelo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

D'Alembertovo načélo [dalembèrovo ~] je v fiziki načelo o osnovnih klasičnomehanskih zakonih gibanja in je enakovredno 2. Newtonovemu zakonu. Imenuje se po francoskem fiziku Jeanu le Rondu d'Alembertu, ki ga je odkril in leta 1742 objavil v razpravi Razprava o dinamiki (Traité de dynamique).

[uredi] Povezava z 2. Newtonovim zakonom

Drugi Newtonov zakon podaja zvezo med rezultanto zunanjih sil Σ F, ki deluje na telo z maso m, in pospeškom a, s katerim se telo giblje pod vplivom te sile:

$\sum_i\mathbf{F}_i = m\mathbf{a}$

Izraz na desni strani enačbe lahko posplošimo, če vpeljemo gibalno količino G in upoštevamo zvezo G = m v, pri čemer je v hitrost telesa.

$\sum_i \mathbf{F}_i = \frac{d\mathbf{G}}{dt}$

Izraz preide v prej navedeni izraz, kadar se masa telesa s časom ne spreminja.

Zadnji izraz lahko zapišemo tudi kot:

$\sum_i\mathbf{F}_i - \frac{d\mathbf{G}}{dt} = 0$

Če uvedemo posplošeno silo F'_i = F_i - dG/dt, vidimo, da ima enačba obliko, enako pogoju za statično ravnovesje.

$\sum_i\mathbf{F'}_i = 0$

Za ravnovesje posplošenih sil se uporablja tudi izraz dinamično ravnovesje. Za d'Alembertovo načelo zato pogosto povedo, da privede probleme dinamike na probleme statike.

Vpeljava posplošene sile je enakovredna postavitvi opazovalca v neinercialni opazovalni sistem, ki se giblje pospešeno skupaj s telesom. Sila -dG/dt je v takem sistemu sistemska sila, ki je posledica pospeška opazovalnega sistema.

Tako določeno d'Alembertovo načelo se glasi: pogoj za dinamično ravnovese dobimo, če vsoti zunanjih sil, ki delujejo na telo, prištejemo sistemske sile, in zahtevamo, da je skupna vsota sil enaka nič.

[uredi] Načelo virtualnih premikov

D'Alembertovo načelo v zgornji obliki včasih združijo z načelom virtualnih premikov, tako da se glasi: delo, ki ga opravi rezultanta posplošenih sil pri neskončno majhnem premiku sistema, omejenega z vezmi, je v ravnovesju enako nič:

$\sum_{i}\left( {\mathbf F}_{i} - {d {\mathbf G}_{i} \over dt}\right) \cdot \delta{\mathbf r}_{i} = 0 \; .$