Vektorový súčin

Z Wikipédie

Vektorový súčin je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.

[úprava] Označenie

Vektorový súčin vektorov $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ sa zvyčajne označuje jedným z následujúcich spôsobov:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$
$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ - používáný vo frankofonnych krajinách
$[\mathbf{a}\mathbf{b}]$ - používáný v Rusku
$[\mathbf{a},\mathbf{b}]$

[úprava] Definícia

Vektorový súčin vektorov a a b je definovaný ako vektor kolmý k vektorom a a b s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta$

kde θ je uhol zvieraný vektormi a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory a a b znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin a × b má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$ , tak zložky vektora c možno určiť ako

c 1 = a 2 b 3 - a 3 b 2

c 2 = a 3 b 1 - a 1 b 3

c 3 = a 1 b 2 - a 2 b 1

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako

$c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k$

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa

d i j = a i b j - a j b i

Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie

d 23 = - d 32 = c 1 = a 2 b 3 - a 3 b 2

d 31 = - d 13 = c 2 = a 3 b 1 - a 1 b 3

d 12 = - d 21 = c 3 = a 1 b 2 - a 2 b 1

d 11 = d 22 = d 33 = 0

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

[úprava] Vlastnosti

Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \mathbf{v} \times \mathbf{u}$

Vynásobením vektorového súčinu číslom a dostaneme

$a (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (a \mathbf{v})$

Platí distributívny zákon

$\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$

Ak pre dva nenulové vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ je ich vektorový súčin nulový, čiže $\mathbf{u} \times \mathbf{B} = \mathbf{0}$ , sú vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ rovnobežné.

Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy i, j, k, tak

$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$

$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$

$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$

V uvedené báze možno vektorový súčin vektorov u, v zapísať pomocou determinantu ako

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$

[úprava] Výpočet

Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

a = [a₁, a₂, a₃]

b = [b₁, b₂, b₃].

Potom

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

[úprava] Použitie

Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily $\mathbf{M}$ , ktorý je definovaný $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor pôsobiska sily.