Maxwellove rovnice

Z Wikipédie

Eletkrostatika

Elektromagnetizmus
Magnetizmus
Elektrický náboj
Coulombov zákon
Elektrické pole
Gaussov zákon
Elektrický potenciál
Magnetostatika
Ampérov zákon
Magnetické pole
Magnetický moment
Elektrodynamika
Elektrický prúd
Lorentzova sila
Elektromotorická sila
Elektromagnetická indukcia
Faradayov-Lenzov zákon
Posuvný prúd
Maxwellove rovnice
Elektromagnetické pole
Elektromagnetická radiácia
Elektrický obvod
Elektrická vodivosť
Elektrický odpor
Kapacitancia
Induktancia
Impedancia
Resonant cavities
Elektromagnetické žiarenie

Maxwellove rovnice sú základné zákony v makroskopickej teórii elektromagnetického poľa. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.

Obsah

1 Formulácia Maxwellových rovníc
2 Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou
3 Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov

[úprava] Formulácia Maxwellových rovníc

Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a $4π$ (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

[úprava] Prvá Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon)

integrálny tvar

$\oint_{c} \mathbf{H}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=I+\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t},$ $\Psi \equiv \int_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S},$ $I = \int_{S} \mathbf{j}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}.$

Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná súčtu celkového vodivého prúdu I a posuvného prúdu $\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t}$ , uzavretého krivkou c, Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

diferenciálny tvar

$\nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.$

Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu $\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.$

[úprava] Druhá Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon)

integrálny tvar

$\oint_{c} \mathbf{E} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{l}=- \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},$ $\Phi \equiv \int_{S} \mathbf{B} \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{A}.$

Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná záporne vzatej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúcej plochou S ohraničenej krivkou c. Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

diferenciálny tvar

$\nabla \times \mathbf{E}=- \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$

Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej derivácii magnetickej indukcie B.

[úprava] Tretia Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky)

integrálny tvar

$\oint_{S} \mathbf{D}\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{S}=Q,$ $Q= \int_{V} \rho \, \mathrm{d}V.$

Elektrický indukčný tok ľubovolnou von orientovanou plochou S je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti V ohraničenej plochou S.

diferenciálny tvar

$\nabla \cdot \mathbf{D}= \rho.$

Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemové hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

[úprava] Štvrtá Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku)

integrálny tvar

$\oint_{S} \mathbf{B}\cdot \, \mathrm{d}\mathbf{S}=0.$

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.

diferenciálny tvar

$\nabla \cdot \mathbf{B}=0.$

Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

Fyzikálne premenné použité v Maxwellových rovniciach zhŕňa následujúca tabuľka

Označenie	Význam	Jednotka SI
$\mathbf{E}$	intenzita elektrického poľa	V/m
$\mathbf{H}$	intenzita magnetického poľa	A/m
$\mathbf{D}$	elektrická indukcia	C/m²
$\mathbf{B}$	magnetická indukcia	T
$\ \rho \$	hustota voľného náboja	C/m³
$\mathbf{j}$	hustota prúdu	A/m²

[úprava] Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m²) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:

$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$

$\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}$

a že pole D a B jsou s E a H sú zviazané vzťahmi:

$\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \ = \ \ \varepsilon \mathbf{E}$

$\mathbf{B} \ \ = \ \ \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) \ \ = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ = \ \ \mu \mathbf{H},$

kde:

$χ e$ je elektrická susceptibilita materiálu,

$χ m$ je magnetická susceptibilita materiálu,

ε je elektrická permitivita materiálu a

μ je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé na čase, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

$\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho$

$\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé na polohe a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

$\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E},$

kde γ je merná vodivosť daného materiálu.

[úprava] Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu Φ a A, ktoré sú definované tak, aby platilo

$\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A},$

$\mathbf{E} = -\nabla\Phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}.$

E a B sa pritom nezmenia, ak k potenciálu Φ pričítame ľubovolnú konštantu, alebo k A divergenciu ľubovoľného vektorového poľa. Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme naviac zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

$\nabla\cdot\mathbf{A}+\varepsilon\mu\frac{\part \Phi}{\partial t}=0.$