Pole powierzchni
Z Wikipedii
Pole powierzchni prostokąta: a*b (a,b sąsiednie boki) Pole powierzchni, czyli potocznie po prostu powierzchnia figury jest pojęciem matematycznym dość trudnym do precyzyjnego zdefiniowania.
Spis treści |
[edytuj] Konstrukcja pojęcia pola
Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:
- Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach a1.
- Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez n1.
Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach , itd. uzyskujemy ciąg liczb n1,n2,....
Polem powierzchni nazywamy granicę:
Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.
Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.
Przykład: zbiory
oraz
mają obydwa pole powierzchni równe 1, mają pustą część wspólną, a ich suma (czyli wnętrze kwadratu) również ma pole równe 1.
Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dwóch rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie.
[edytuj] Definicja szkolna
Definicja używana w szkołach podstawowych i średnich.
- Obieramy kwadrat o boku 1.
- Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
- Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.
[edytuj] Pole pod krzywą
Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b jest równe całce oznaczonej
[edytuj] Pola typowych figur
- Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi: S = absinα
- Elipsa o półosiach a i b: S = πab
- Koło o promieniu r: S = πr2
- Wielokąt foremny:
Zobacz też: wzór Picka.