Nicolas Bourbaki

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Nicolas Bourbaki è lo pseudonimo con il quale, a partire dal 1935 e sostanzialmente fino al 1983, un gruppo di matematici di alto profilo, in maggioranza francesi, ha scritto una serie di libri per l'esposizione sistematica di nozioni della matematica moderna avanzata. Con questa operazione scientifica il gruppo si è posto l'obiettivo di fondare l'intera matematica sulla teoria degli insiemi attraverso testi che fossero il più possibile rigorosi e generali. Nel corso di questa attività sono stati introdotti nuovi termini e nuovi concetti che hanno avuto una influenza complessivamente molto positiva.

Nicolas Bourbaki è un personaggio immaginario (il cognome è quello di un generale francese, Charles Denis Bourbaki), mentre è stata costituita nel 1935 una Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki che dispone di un ufficio presso la École Normale Supérieure in Parigi. Suoi membri fondatori sono Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt e André Weil. Le sue attività principali sono state la redazione degli Éléments de Mathématique e l'organizzazione di un Séminaire Bourbaki.

Indice 1 L'opera di Bourbaki 2 La prospettiva di Bourbaki e i suoi limiti 3 Bourbaki e la matematica deantropizzata 4 Bourbaki e bourbakisti 5 Collegamenti esterni 6 Bibliografia

[modifica] L'opera di Bourbaki

Inizialmente il gruppo Bourbaki si proponeva solo la presentazione rigorosa dei fondamenti del calcolo integrale e differenziale, ma questo obiettivo si è rivelato troppo ristretto. L'attività del gruppo si è quindi concretizzata nella pubblicazione della serie di testi comprendente:

• una Prima parte intitolata Les structures fondamentales de l'analyse costituita da sei volumi riguardanti Teoria degli insiemi, Algebra, Topologia generale, Funzioni di una variabile reale, Spazi vettoriali topologici e Integrazione; tutti questi sono sottotitolati Les structures fondamentales de l'analyse.
• tre successivi volumi dedicati ad Algebra commutativa, Gruppi e algebre di Lie e Teorie spettrali (l'unico senza pretese di completezza) ai quali si è aggiunto un fascicolo di risultati sulle Varietà differenziali e analitiche;
• un volume di Elementi di storia della matematica.

L'enfasi posta nel rigore, che si è dimostrata molto influente, può ricondursi ad una reazione al lavoro di Jules-Henri Poincaré, che sosteneva l'importanza del libero fluire dell'intuizione matematica.

Molti dei libri di Bourbaki sono diventati riferimenti canonici nei rispettivi campi; il loro stile austero però non li rende adatti al ruolo dei libri di testo. La loro influenza è stata massima nel periodo tra il 1950 e il 1960, quando erano pochi i libri di matematica pura indirizzati ai laureati. L'influenza dell'opera di Bourbaki successivamente è andata diminuendo, in parte a causa del fatto che alcune delle astrazioni portate avanti si sono dimostrate meno utili di quanto si era inizialmente previsto e in parte perché sono ignorate altre astrazioni che ora si considerano importanti, ad es. l'armamentario della teoria delle categorie; inoltre si è fatta sentire l'assenza di tematiche alle quali era stato dato scarso o nessun peso.

Bourbaki ha introdotto molte notazioni ed espressioni entrate nell'uso comune: il simbolo ; per l'insieme vuoto, le maiuscole nello stile chiamato blackboard bold per gli insiemi numerici dagli interi ai complessi e termini come iniezione, suriezione e biiezione.

La serie dei seminari Bourbaki, iniziata nell'immediato dopoguerra, prosegue a tenersi a Parigi e costituisce una importante sorgente di articoli di rassegna scritti con uno stile molto accurato che segue il modello del testo.

[modifica] La prospettiva di Bourbaki e i suoi limiti

Bourbaki si è posto con chiarezza finalità "enciclopediche", ma non "neutrali". Ha inteso costruire una esposizione di ampia portata e coerente dando enfasi all'assiomatica e al formalismo, richiamandosi alla visione della matematica di Hilbert, ma sempre sottoponendo i contenuti a selezioni e rielaborazioni.

Esempi di questa tendenza sono il ribattezzare il calcolo tensoriale con il termine algebra multilineare e l'emergere dell'algebra commutativa come argomento indipendente dalla teoria dell'eliminazione la quale aveva avuta una maggiore motivazione sotto il nome precedente di teoria degli ideali. Già Hilbert negli anni 1890 aveva manifestato la preferenza dei metodi non costruttivi; con i suddetti cambiamenti di termini Bourbaki ha inteso rendere palese questa preferenza.

Con il senno di poi (del 2005) possiamo mettere in rilievo le seguenti caratteristiche come significative dell'atteggiamento non neutrale, delle tendenze ad escludere, di Bourbaki:

• I contenuti algoritmici sono considerati poco rilevanti e sono quasi completamente assenti.
• La soluzione dei problemi (problem solving) è considerata secondaria rispetto alla presentazione assiomatica e sistematica.
• L'analisi è trattata nei suoi temi 'soft', senza addentrarsi nelle sue stime più 'hard', più stringenti e impegnative da individuare.
• La teoria della misura è sbilanciata verso le misure di Radon.
• Le strutture combinatorie sono giudicate irrilevanti per la strutturazione complessiva.
• La logica matematica è ben poco approfondita, solo per quanto basta a giustificare il lemma di Zorn).
• Le applicazioni non compaiono mai.

Inoltre (cela va sans dire) nessuna figura. In effetti la geometria come tematica a sé stante viene trascurata e compare solo quando si riduce ad algebra astratta e ad analisi soft. L'approccio di Bourbaki si può apprezzare sul piano dell'efficacia più che su quello dell'eleganza: con Bourbaki ricompare un'argomentazione contraria alla geometria sintetica già sviluppata in dibattiti precedenti e inquadrabile in un alternarsi storico di flussi e riflussi di atteggiamenti. Weil nelle sue Collected Works pone il dubbio che l'intuizione geometrica non sia che una facciata. Hilbert negli anni '20 aveva scritto, insieme a Stefan Cohn-Vossen, un libro sulla 'geometria intuitiva' e quindi su questo tema Bourbaki risulta notevolmente selettivo nei confronti delle attitudini del suo padre ispiratore.

Molti volumi di Bourbaki sono accompagnati da note storiche che sono anche state raccolte in un volume separato. Mentre spesso i lettori di storia della matematica preferiscono presentazioni con del folclore e con degli aneddoti, l'esposizione di Bourbaki non soffre certo per la mancanza di contenuti scientifici. Ad essa però si può imputare l'atteggiamento secondo il quale la storia dovrebbe essere scritta dai vincitori della lotta per la chiarezza assiomatica. Quindi è inevitabilmente parziale, e anche partigiana.

[modifica] Bourbaki e la matematica deantropizzata

Nel 1939, dopo una serie di articoli apparsi su riviste specializzate, esce il primo volume degli Éléments de mathématique, opera ambiziosa che si prefigge l'obiettivo di riscrivere la matematica in forma assiomatica in modo rigoroso e il più possibile semplice, appoggiandosi sul concetto di struttura. Le strutture costituiscono l'ossatura attorno a cui la matematica moderna viene ricostruita, e questo lavoro di fusione e di unificazione è senza dubbio il più importante che si è compiuto dopo Euclide. E come gli Elementi di Euclide non furono l'opera di un singolo uomo ma di una scuola, una scuola o piuttosto l'associazione operativa che si presenta come un matematico policefalo, Nicolas Bourbaki, è quella che più contribuì a questa vasta opera. L'opera di Bourbaki costituisce una rivolta generazionale contro la matematica precedente e le sue suddivisioni giudicate arcaiche dai sostenitori della assoluta superiorità dell'impostazione assiomatica. L'atteggiamento radicalmente riformatore che sostiene la redazione degli Éléments de mathématique è chiaro fin dal titolo dell'opera, evidentemente ricalcato sugli Elementi euclidei.

Per capire pienamente quali radicali cambiamenti sono stati apportati alla matematica dalla scuola Bourbaki è necessario stabilire a grandi linee qual è il fondamento della matematica greca.

Gli Elementi di Euclide sono stati indicati per secoli come un paradigma del rigore matematico: dai postulati seguono i risultati in base alle sole regole logiche ammesse. Oggi è però evidente che la matematica greco-ellenistica si basa su forti presupposti intuitivi. L'intuizione spaziale costituisce un presupposto fondamentale dell'opera, come emerge dalla osservazione dell'uso di postulati inespressi quali l'unicità della retta per due punti o l'intersezione tra due archi di circonferenza.

La sistemazione filosofica di questa concezione intuitiva della geometria fu data da Immanuel Kant, per il quale lo spazio è una pura intuizione, una rappresentazione a priori che precede tutte le intuizioni esterne e sulla quale è fondata la geometria. D'altra parte, nella filosofia kantiana un ruolo centrale è assegnato al concetto di immaginazione, definita come la facoltà di rappresentare un oggetto a prescindere dalla sua presenza nell'intuizione. Nello schema di pensiero kantiano la facoltà empirica dell'immaginazione, responsabile di quella sintesi costruttiva che è presupposto di ogni costruzione geometrica, ha come prodotto immagini che non si ricollegano al concetto se non mediante lo schema che esse designano e che costituiscono l'unico fondamento dei nostri concetti sensibili puri: nessuna immagine rappresenta il concetto di triangolo, ma, al contrario, è lo schema di triangolo, che funziona come una regola, determina la nostra intuizione. Lo schematismo kantiano, come noto, fu messo in crisi dal riconoscimento da parte della comunità scientifica della rilevanza delle geometrie non euclidee e fu assunto come presupposto metafisico dalla scuola di Gottinga per realizzare l'ambizioso progetto dell'eliminazione dalla matematica di ogni riferimento soggettivo.

Il mutamento di prospettiva fu codificato nel 1900 da David Hilbert nelle Grundlagen der Geometrie, dove venne affermata l'idea che le costruzioni matematiche sono semplici sistemi ipotetico deduttivi: gli assiomi sono privi di qualsiasi valore semantico e l'unica restrizione alla quale devono sottostare è quella di essere consistenti, cioè di non dare luogo ad alcuna contraddizione logica. Nella concezione hilbertiana non c'è spazio per le immagini e la geometria euclidea viene sistematizzata con una assiomatizzazione che elimina tutto ciò che è legato all'intuizione. È difficile stabilire se la scuola di Gottinga avesse degli obiettivi filosofici ben definiti. In ogni caso, dopo aver rimosso le terra dal centro dell'Universo con Niccolò Copernico e l'uomo dalla centralità della Terra con Charles Darwin, a Goettingen si opera per rimuovere, più discutibilmente, la matematica dall'uomo.

Al di là di ogni giudizio storico e filosofico, si deve comunque rilevare il prevalere della linea di deantropizzazione della matematica e la transizione dalla tradizionale concezione euclideo-kantiana di una geometria "fisica" alla concezione hilbertiana delle geometria come disciplina eminentemente astratta e formalizzata. Questa posizione fu sentita come 'rivoluzionaria', nel senso delle rivoluzioni scientifiche individuate nella storia delle scienze da Thomas Kuhn. Sul piano delle azioni concrete e anche dell'ufficialità, questa 'rivoluzione' si manifestò con l'uscita di nuovi manuali e l'evento maggiore di questo movimento fu la pubblicazione degli Éléments de mathématique di Bourbaki; con questi veniva posta una forte prospettiva strutturalista.

La posizione di Bourbaki nei confronti dello stretto legame esistente tra intuizione e matematica è chiara fin dalla prima pagina degli Éléments:
"Dai greci, chi dice matematica dice dimostrazione. Alcuni dubitano che al di fuori delle matematiche esistano dimostrazioni nel senso preciso e rigoroso che questo termine ha ricevuto dai greci e che si intende dare in questa opera. Si ha il diritto di dire che il significato del termine dimostrazione non è variato, poiché ciò che è stato una dimostrazione per Euclide, lo è tuttora ai nostri occhi; ed in epoche nelle quali tale nozione ha rischiato di perdersi e la matematica si è trovata in pericolo, è presso i greci che si è ricercato il modello. Ma a questa venerabile eredità si sono aggiunte, da un secolo, importanti scoperte. In effetti l'analisi del meccanismo di dimostrazione nei migliori testi di matematica ha permesso di liberare la struttura dal doppio punto di vista del vocabolario e della sintassi. Si arriva quindi alla conclusione che un testo di matematica sufficientemente esplicito può essere espresso in un linguaggio convenzionale comprendente solamente un piccolo numero di termini invariabili assemblati mediante una sintassi che consisterà in un piccolo numero di regole inviolabili. Un testo così concepito si dice formalizzato. La descrizione di una partita di scacchi secondo la usuale notazione, una tavola di logaritmi sono testi formalizzati; [...]. La verifica di un testo formalizzato non richiede che una attenzione meccanica; le sole cause di errore saranno dovute alla lunghezza o alla complessità del testo.[...]. Per contro, in un testo non formalizzato si è esposti ad errori di ragionamento che rischiano, ad esempio, di causare un uso improprio dell'intuizione o del ragionamento per analogia".

Caposaldo della matematica bourbakista è quindi il metodo assiomatico che, articolato sullo schema ternario assioma-definizione-teorema, "propriamente parlando non è altro che quest'arte di redigere testi per i quali la formalizzazione è facile da concepire". In sé il metodo assiomatico non costituisce una novità, in quanto è nato ed "è stato applicato ben prima della nascita dei linguaggi formalizzati; ma la sua pratica cosciente non può basarsi che su una conoscenza dei principi generali che governano questi linguaggi". L'originalità della matematica moderna consiste quindi "nell'impiego sistematico [dei linguaggi formalizzati] come strumento di scoperta".

[modifica] Bourbaki e bourbakisti

La comparsa di Bourbaki sulla scena matematica internazionale ha significato una visione nuova della matematica, una profonda riorganizzazione, uno stile espositivo particolare, con terminologie e notazioni originali. La sua influenza è arrivata fin sui banchi di scuola e si è manifestata nel movimento per l'introduzione della cosiddetta "matematica moderna". È indubbio, infatti, che la visione ipotetico-deduttiva abbia un particolare fascino e non ci meraviglia il fatto che un gran numero di docenti universitari, soprattutto in Francia e negli Stati Uniti, a partire dagli anni 1950, aderisse allo stile bourbakista ereditandone in modo piuttosto acritico la morale, la quale rapidamente ha raggiunto una posizione dominante. Questa morale vedeva la matematica tanto più buona e bella quanto più era distante dai fatti intuitivi. Ma è indubbio pure che l'associazione Bourbaki e la scuola di Gottinga abbiano consapevolmente conferito alla matematica una forma sostanzialmente inadatta al suo studio, rimuovendo da essa ogni riferimento umano. Per convincersi di ciò è sufficiente leggere le prime righe delle "istruzioni per l'uso" degli Éléments:

1. Il trattato prende le matematiche alla loro origine e fornisce dimostrazioni complete. La sua lettura non presuppone dunque, in linea di principio, alcuna conoscenza particolare, ma solamente una certa attitudine al ragionamento e una certa capacità di astrazione. Tuttavia il trattato è destinato più particolarmente a lettori che possiedano almeno una buona conoscenza delle materie insegnate nel primo o nei primi due anni dell'università.
2. L'esposizione seguita è assiomatica e procede nella maggior parte dei casi dal generale al particolare. Le necessità dimostrative esigono che i capitoli si seguano, in principio, con un ordine logico rigoroso. L'utilità di certe considerazioni apparirà al lettore solo alla lettura dei capitoli successivi, a meno che egli non possieda già delle conoscenze sufficientemente estese.

Il gruppo Bourbaki non prefisse al suo trattato né finalità didattiche né applicative; lo scopo era 'solo' quello di dare un solido fondamento alle matematiche moderne. Nonostante ciò, Jean Piaget negli anni 1950 tentò una corrispondenza tra la classificazione strutturalista dei linguaggi matematici (secondo le strutture algebriche, d'ordine e topologiche) e le strutture dell'apprendimento (psicomotricità, lateralizzazione, conoscenza dello spazio). Questo tentativo in Italia fu messo in evidenza dal testo "L'insegnamento della matematica" (La Nuova Italia, Firenze, 1969) e negli anni 1970 sostenne l'approccio strutturalista per l'insegnamento delle matematiche.

Occorre dunque operare una distinzione tra i matematici di Bourbaki e i bourbakisti che senza preoccuparsi di leggere l'introduzione del trattato, contrariamente al mode d'emploi, lo hanno usato nel loro insegnamento, formando generazioni di futuri docenti e ricercatori che conseguivano il titolo di studio senza conoscere altri stili matematici che quello bourbakista. Una cosa comunque è certa: il metodo assiomatico costituisce, grazie alla sua generalità, un potente strumento di sintesi. Poco importa se si tratta di scrivere o di leggere un testo formalizzato che assegni questo o quel significato a termini e segni, o se addirittura non attribuisce ad essi alcun significato; la sola cosa che importa è l'applicazione corretta delle regole della sintassi. Il metodo assiomatico porta indubbiamente a posizioni potenzialmente vantaggiose: uno stesso calcolo algebrico può servire a risolvere problemi attinenti chilogrammi piuttosto che franchi o parabole o moti rettilinei uniformemente accelerati. Questo vantaggio potenziale si ha in tutti i testi formalizzati secondo il metodo assiomatico: una volta stabiliti i teoremi della topologia generale, è possibile applicarli allo spazio ordinario, allo spazio di Hilbert e ad altre situazioni ancora.
E se è vero che il metodo assiomatico come strumento di estrema sintesi, costituisce il pilastro della matematica moderna, è vero pure che ai responsabili dell'insegnamento delle matematiche si pose un'ardua questione: l'evoluzione rapida e profonda che si è riscontrata la scienza matematica durante gli ultimi cinquant'anni deve apportare modifiche allo schema dell'insegnamento medio? È necessario cambiare i programmi? Più modestamente, è necessario sforzarsi di vedere i programmi sotto punti di vista della teoria degli insiemi e introdurre in una certa misura il simbolismo del linguaggio moderno? È necessario, al contrario, contentarsi dello stato attuale?
La risposta è ovvia: la scuola non poteva rimanere indifferente alle teorie della matematica moderna, però la matematica bourbakista non entrò nelle scuole in punta di piedi ma, come si è detto sopra, al di la degli intenti del gruppo, procedette unilateralmente senza preoccuparsi della possibilità di travolgere certe istituzioni scolastiche. E i risultati complessivi furono prevalentemente fallimentari.

[modifica] Collegamenti esterni

• Sito dell'Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki
• Long article by Émilie Richer su Bourbaki in Planet Math
• 25 Years with Bourbaki, di Armand Borel
• Ouvrages de Nicolas Bourbaki
• Premières éditions françaises des Elements de Mathématique

[modifica] Bibliografia

• Travaux portant sur Bourbaki di Liliane Beaulieu
• Immanuel Kant, Critica della ragion pura, Laterza, Roma-Bari 1981
• Sergio Invernizzi (Università di Trieste), Il Re è nudo, lavoro presentato al convegno "Cartesio e la Scienza", Perugia, 4/7 settembre 1996.
• Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, Hermann, Paris 1939.
• Filippo Spagnolo, Considerazioni sul ruolo dei "saperi matematici" - G.R.I.M