Disuguaglianza di Chebyshev sulla somma

Un'altra voce parla della disuguaglianza di Chebyshev nella teoria delle probabilità.

In matematica, la disuguaglianza di Chebyshev sulla somma, che porta il nome di Pafnuty Chebyshev, stabilisce che se

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$

allora

$n \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right).$

In modo simile, se

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,$

allora

$n \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right).$

o meglio

$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}$

[modifica] Dimostrazione

La disuguaglianza di Chebyshev sulla somma segue dalla disuguaglianza di riarrangiamento. Supponiamo di avere

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$

per la disuguaglianza di riarrangiamento avremo che

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b1$

è il valore massimo che assume il prodotto scalare fra le due sequenze.

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2$

$\cdots$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + \cdots + a_n b_1$

Sommando tutte queste disuguaglianze si ottiene

$n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n)$

dividendo per $n 2$ :

$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}$

Esiste inoltre una versione continua della disuguaglianza di Chebyshev:

Se f e g sono funzioni nei reali ed integrabili in [0,1], entrambe crescenti o decrescenti, allora

$\int fg \geq \int f \int g.\,$

Questo può essere generalizzato ad integrali in qualsiasi altro spazio, come anche a prodotti di integrali numerabili.