Disuguaglianza di riarrangiamento

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La disuguaglianza di riarrangiamento consiste nell'osservazione che il prodotto scalare fra due vettori è massimo/minimo quando le componenti dei vettori sono ordinati nello stesso modo/in modo opposto.

Se le componenti dei vettori a e b sono

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n$

allora

$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$

è il valore massimo che può assumere il prodotto scalare fra i due vettori (quando le componenti sono ordinate nello stesso modo) e

$a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \cdots + a_n b_1$

è il valore minimo che lo stesso può assumere.

[modifica] Dimostrazione

Supponiamo di avere

$S = a_1 b_1 + \cdots + a_k b_k + \cdots + a_r b_r + \cdots + a_n b_n$

$S^' = a_1 b_1 + \cdots + a_k b_r + \cdots + a_r b_k + \cdots + a_n b_n$

la differenza è

S - S' = a k (b k - b r) + a r (b r - b k) = (a k - a r)(b k - b r) > 0

per cui S è maggiore di qualsiasi altro riarrangiamento del prodotto fra vettori. In modo analogo si procede per il caso minimo.

[modifica] Uso

Questa disuguaglianza può essere usata per dimostrarne alcune più complesse come la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica, la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la Disuguaglianza di Chebyshev sulla somma.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../d/i/s/Disuguaglianza_di_riarrangiamento.html"

Categoria: Disuguaglianze

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