מישור פרוייקטיבי סופי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מישור פרויקטיבי סופי הוא מישור פרויקטיבי שיש בו מספר סופי של נקודות. במילים אחרות, מישור פרויקטיבי סופי כולל שתי קבוצות סופיות של אובייקטים, שנקראים "נקודות" ו"ישרים", שמוגדר ביניהם יחס חילה, כך שדרך כל שתי נקודות עובר ישר אחד, וכל שני ישרים נחתכים בנקודה אחת. מספר הנקודות במישור (שהוא גם מספר הישרים במישור) הוא תמיד מהצורה $\ n^2+n+1$ , כאשר n קרוי סדר המישור. במישור מסדר n, על כל ישר ישנן $\ n+1$ נקודות, ודרך כל נקודה עוברים $\ n+1$ ישרים.

מישור פרויקטיבי מסדר 2.

המישור הפרויקטיבי הקטן ביותר הוא מסדר 2.

לא מכל סדר ישנו מישור פרויקטיבי. לדוגמה, ידוע שאין מישור פרויקטיבי מסדר 6. באופן כללי, לא ידוע מאילו סדרים ניתן לבנות מישורים פרויקטיביים, ומאילו לא. ישנה השערה שניתן לבנות מישורים פרויקטיביים רק מסדר שהוא מספר ראשוני או חזקה של מספר ראשוני.

ישנן דרכים שונות לבנות מישורים פרויקטיביים סופיים. דרך אחת מתבססת על קיומם של $\ n-1$ ריבועים לטיניים מגודל n מאונכים בזוגות. דרך אחרת היא הגדרת קואורדינטות הומוגניות על שדה סופי.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית
2 שיטות לבניית מישורים פרויקטיבים
- 2.1 בנייה באמצעות שדה סופי
- 2.2 בנייה באמצעות ריבועים לטיניים

[עריכה] הגדרה פורמלית

מבחינה פורמלית, ניתן להגדיר מישור פרויקטיבי סופי כשתי קבוצות סופיות, קבוצת הישרים וקבוצת הנקודות, כאשר "ישר" הוא קבוצה של נקודות ו"נקודה" היא קבוצה של ישרים, שמתקיימות לגביהן הדרישות הבאות:

לכל נקודה $\ a$ וישר $\ A$ , מתקיים $\ a \in A$ אם ורק אם מתקיים $\ A \in a$ .
לכל שתי נקודות שונות $\ a,b$ קיים ישר אחד ויחיד $\ A$ , כך שמתקיים $\ a\cap b=A$ .
לכל שני ישרים שונים $\ A,B$ קיימת נקודה אחת ויחידה $\ a$ , כך שמתקיים $\ A\cap B=a$ .

[עריכה] שיטות לבניית מישורים פרויקטיבים

[עריכה] בנייה באמצעות שדה סופי

בהינתן שדה סופי F עם n איברים, ניתן לבנות באמצעותו מישור פרויקטיבי סופי מסדר n. נייצג "נקודה" כקבוצת כל השלשות הסדורות של איברי F שפרופורציונליות לשלשה סדורה מסוימת, ושלפחות אחד האיברים שלהן שונה מאפס. נייצג גם "ישר" באותו אופן. נאמר שנקודה חלה בישר ולהיפך, אם עבור ייצוג כלשהו של הנקודה $\ (x_1,x_2, x_3)$ וייצוג מסוים של הישר $\ (a_1,a_2, a_3)$ מתקיים $\ a_{1}x_1+a_{2}x_2+a_{3}x_3=0$ . אם הטענה מתקיימת עבור ייצוג מסוים של הנקודה וייצוג מסוים של הישר, היא מתקיימת לכל ייצוג שלהם. קבוצת הישרים וקבוצת הנקודות שהגדרנו מקיימים את ההגדרה של מישור פרויקטיבי. ביצירת שיטת ייצוג זו לישרים ונקודות, הגדרנו למעשה קואורדינטות הומוגניות במישור הפרויקטיבי הסופי.

[עריכה] בנייה באמצעות ריבועים לטיניים

בהינתן $\ n-1$ ריבועים לטיניים מסדר n, ניתן לבנות באמצעותם מישור פרויקטיבי מסדר n. נגדיר עבור כל משבצת בלוח ריבועי בגודל $\ n\times n$ "נקודה" מתאימה, נגדיר "נקודה" שתתאים לכל אחד מהריבועים הלטיניים, ונגדיר שתי "נקודות" נוספות: "נקודת השורות" ו"נקודת העמודות". עבור כל ריבוע לטיני, וכל ערך שמופיע בו, נגדיר "ישר" שיכלול את כל הנקודות שמייצגות את המשבצות בהן מופיע הערך, וכן את הנקודה שמייצגת את אותו ריבוע לטיני. עבור כל שורה או עמודה בלוח הריבועי, נגדיר "ישר" של כל המשבצות בה, ונקודת השורות או נקודת העמודות, בהתאמה. לסיום נגדיר "ישר" אחרון, שיכלול את כל הנקודות שמייצגות ריבועים לטיניים, יחד עם נקודת השורות ונקודת העמודות. קל לראות שנקודות וישרים אלה מהווים מישור פרויקטיבי סופי מסדר n.

ניתן לבצע גם בנייה הפוכה: בהינתן מישור פרויקטיבי סופי מסדר n, ניתן לבנות באמצעותו n ריבועים לטיניים מסדר $\ n-1$ . לכן, קיים מישור פרויקטיבי מסדר n אם ורק אם קיימים $\ n-1$ ריבועים לטיניים מאונכים בזוגות מסדר n.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%99/%D7%A9/%D7%9E%D7%99%D7%A9%D7%95%D7%A8_%D7%A4%D7%A8%D7%95%D7%99%D7%99%D7%A7%D7%98%D7%99%D7%91%D7%99_%D7%A1%D7%95%D7%A4%D7%99.html

קטגוריה: קומבינטוריקה