מבחני התחלקות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מבחן חלוקה (נקרא גם סימן חלוקה או מבחן התחלקות) הוא דרך מהירה ונוחה לקבוע מתי מספר שלם מסוים מחלק מספר שלם אחר ללא שארית. מבחני החלוקה שונים באופיים בהתאם למספר שבודקים את החלוקה בו, אך העקרון הכללי שמנחה את כולם הוא צמצום המספר הנבדק למספר פשוט יותר, שקל יותר לבדוק את החלוקה עבורו.

[עריכה] מבחני חלוקה בסיסיים

להלן רשימה של מבחני חלוקה עבור המספרים הטבעיים הראשונים:

כל מספר טבעי מתחלק ב-1.
מספר מתחלק ב-2 אם ורק אם ספרת האחדות שלו מתחלקת ב-2.
מספר מתחלק ב-3 אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-3 (למשל: 1962 מתחלק ב-3 כי סכום ספרותיו הוא 18).
מספר מתחלק ב-4 אם ורק אם המספר שיוצרות שתי ספרותיו הימניות מתחלק ב-4.
מספר מתחלק ב-5 אם ורק אם ספרת האחדות שלו מתחלקת ב-5 (כלומר, היא 0 או 5).
מספר מתחלק ב-6 אם ורק אם הוא מתחלק גם ב-2 וגם ב-3.
מספר מתחלק ב-7 אם ורק אם לאחר שמחסרים מהמספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשתיים, מקבלים מספר שמתחלק ב-7. למשל, 224 מתחלק ב-7 כיוון ש $\ 22- 2 \cdot 4 = 14$ .
מספר מתחלק ב-8 אם ורק אם המספר שיוצרות שלוש ספרותיו הימניות מתחלק ב-8.
מספר מתחלק ב-9 אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-9.
מספר מתחלק ב-10 אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 0.
מספר מתחלק ב-11 אם ורק אם לאחר שמחסרים ומחברים לסירוגין את ספרותיו מתקבל מספר שמתחלק ב-11. למשל, 924 מתחלק ב-11 שכן 9-2+4=11.
מספר מתחלק ב-12 אם ורק אם הוא מתחלק ב-3 וגם ב-4. (ראו פירוט נוסף בסוף).
מספר מתחלק ב-13 - הבדיקה: מוחקים את ספרת האחדות מהמספר, לאחר מכן מוסיפים 4 פעמים את הספרה שנמחקה למספר שנותר. חוזרים על הפעולה ובכל שלב מקבלים מספר קטן יותר מהקודם, אם מתקבל מספר גדול יותר הבדיקה נכשלה - והמספר אינו מתחלק ב-13, אם מתקבל מספר שווה לקודם אז הבדיקה הצליחה והמספר מתחלק ב-13.

דוגמה למספר שמתחלק ב-13:

59371 -> 5937 + 1x4 = 5941 -> 594 + 1x4 = 598 -> 59 + 8x4 = 91 -> 9 + 1x4 = 13 -> 1 + 3x4 = 13 (13=13)

דוגמה למספר שאינו מתחלק ב-13:

59373 -> 5937 + 3x4 = 5949 -> 594 + 9x4 = 630 -> 63 + 0x4 = 63 -> 6 + 3x4 = 18 -> 1 + 8x4 = 33 (18<33)

מספר מתחלק ב 14 אם ורק אם הוא מתחלק גם ב-2 וגם ב-7.
מספר מתחלק ב 15 אם ורק אם הוא מתחלק גם ב-3 וגם ב-5.
מספר מתחלק ב-100 אם הוא נגמר בשני אפסים (00), ב-1000 אם הוא נגמר בשלושה אפסים (000) וכך הלאה.

באופן כללי, אם המספרים n,m זרים, כגון 3 ו- 4, אז מספר מתחלק במכפלתם אם ורק אם הוא מתחלק בכל אחד מהם לעצמו. לכן סימן החלוקה ב- nm הוא שילוב של שני הסימנים. לדוגמה, המספר 216 מתחלק ב- 12=3*4, מכיוון שהוא מתחלק ב- 3 (סכום ספרותיו 9), וגם ב- 4 (המספר 16 מתחלק ב- 4).

[עריכה] 2

מספר מתחלק ב 2 אם ורק אם ספרת היחידות שלו מתחלקת ב 2. במילים אחרות, מספר הוא זוגי, אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא זוגית. לדוגמה, המספרים 8, 72 ו 9746 הם זוגיים, והמספרים 3, 79 ו 957 הם אי-זוגיים.

הסבר

נסתכל על ייצוג של מספר בשיטה העשרונית. ניתן להציג כל מספר כסכום של ספרת האחדות, ושאר המספר כשהוא מוכפל בעשר. ניקח לדוגמה את המספר 318. ניתן להצייגו גם כך:

$\ 318 = 310 + 8 = 31 \cdot 10 + 8$ .

אנו יודעים כי 10 מתחלק ב-2 ללא שארית (הרי $\ 10= 5 \cdot 2$ ). מצאנו כי 318 הוא סכום של 2 מחוברים, כשהראשון מביניהם מתחלק ב-2, ולכן נותר רק לדרוש כי המחובר השני, שהוא ספרת האחדות של המספר המקורי, יתחלק ב-2.

[עריכה] 3

מספר מתחלק ב 3 אם ורק אם סכום הספרות שלו מתחלק ב 3. לדוגמה, המספר 201 מתחלק ב 3 כי סכום הספרות הוא 2+0+1=3. גם המספר 837 מתחלק בשלוש כי סכום הספרות הוא 8+3+7=18, ו 18 מתחלק ב 3 כי סכום הספרות של 18 הוא 1+8=9, ו 9 מתחלק בשלוש. המספר 65 לא מתחלק ב 3 כי 6+5=11, ו 11 לא מתחלק בשלוש (כי 1+1=2).

הסבר

ניתן להבין את החוק מהסתכלות על הייצוג של מספרים בשיטה העשרונית.

נשים לב לתכונה מעניינת - כל חזקה של 10 נותנת שארית 1 בחלוקה ב 3. לדוגמה:

$\ 10= 9+1 =3 \cdot 3+ 1$

$\ 100= 99+1 =33 \cdot 3+ 1$

$\ 1,000= 999+1 =333 \cdot 3+ 1$

$\ 10,000= 9,999+1 =3,333 \cdot 3+ 1$

$\ 100,000= 99,999+1 =33,333 \cdot 3+ 1$

וכן הלאה. ניקח את לדוגמה את המספר 7,582. הכוונה היא בעצם ל

$\ 7,582= 7 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 2 \cdot 1$ .

ונשתמש בעובדה שציינו קודם, כדי לכתוב זאת מחדש:

$\ 7,582= 7 \cdot (3 \cdot 333+1) + 5 \cdot (3 \cdot 33+1) + 8 \cdot (3 \cdot 3+1) + 2 \cdot (0+1)$ .

נפתח סוגריים, ונקבץ את כל האברים המוכפלים ב 3.

$\ 7,582 =3 \cdot (7 \cdot 333 + 5 \cdot 33 + 8 \cdot 3) + (7+5+8+2)$ .

גילינו כי $\ 7,582$ מורכב מחיבור של שני אברים. האיבר הראשון מתחלק ב 3 בוודאות, כי הוא מכפלה של 3 במספר שלם, והאיבר השני הוא בדיוק סכום הספרות $\ 7+5+8+2=21$ . מכיוון שהמחובר הראשון מתחלק ב 3 בוודאות, נותר רק לדרוש כי המחובר השני, שהוא סכום הספרות, יתחלק בשלוש.

$\ 21$ מתחלק בשלוש, שהרי $\ 2+1 = 3$ ואנו יודעים כי $\ 21 = 3 \cdot 7$ . לכן $\ 7,582$ מתחלק בשלוש. ואכן, $7,482 = 3 \cdot 2494$ .

[עריכה] 4

מספר מתחלק ב 4 אם ורק אם המספר שיוצרות שתי הספרות האחרונות שלו מתחלק ב 4. לדוגמה, המספר 1,832 מתחלק ב 4 כי 32 מתחלק ב 4 $( 32= 4 \cdot 8)$ . המספר 98,215 לא מתחלק ב 4, כי המספר 15 לא מתחלק ב 4.

הסבר

נסתכל על הייצוג של המספר בשיטה העשרונית, ונזכור ש 100 מתחלק ב 4 ללא שארית - $\ 100=4 \cdot 25$ .

נסתכל לדוגמה על המספר 1,832. ניתן להסתכל עליו בתור הסכום

$1,832 = 1,800 + 32 = 18 \cdot 100 + 32$ .

נפרק את 100 למכפלה

$1,832 = 18 \cdot (25 \cdot 4) + 32$ .

גילינו ש 1,832 מורכב מסכום של שני מספרים, כשהראשון מתחלק ב 4. לכן, כמו במקרה הקודם, על מנת ש 1,832 יתחלק ב 4 דרוש רק כי המחובר השני יתחלק בארבע, וזהו המספר שיצורות שתי הספרות האחרונות - 32. ואכן,

$\ 1,832 = 458 \cdot 4$ .

[עריכה] 5

מספר מתחלק בחמש אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 5 או 0. במילים אחרות - מספר מתחלק בחמש אם ורק אם ספרת היחידות שלו מתחלקת בחמש.

לדוגמה, המספרים 85, 100 ו 84,535 מתחלקים בחמש, והמספרים 94, 758, ו74,542 אינם מתחלקים בחמש.

הסבר

ההסבר דומה מאוד להסבר של סימן החלוקה הקודם. ניתן להציג כל מספר המורכב משתי ספרות ויותר כסכום של ספרת האחדות ומכפלת שאר המספר ב10. ניקח לדוגמה את 765. ניתן לייצגו גם כך:

$\ 765 = 76 \cdot 10 + 5$ .

מכיוון ש 10 מתחלק בחמש, נותר לדרוש רק כי הספרה האחרונה תתחלק בחמש. הספרות היחידות המתחלקות בחמש הם 5 ו 0, ולכן מספר מתחלק בחמש רק אם ספרת היחידות שלו היא 0 או 5.

[עריכה] 7

מספר מתחלק בשבע אם ורק אם לאחר שמחסרים מהמספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשתיים, מקבלים מספר שמתחלק ב-7. למשל, 224 מתחלק ב-7 כיוון ש $\ 22- 2 \cdot 4 = 14$ .

הסבר

נסמן את ספרת האחדות ב $\ a$ , ואת שאר המספר ב $\ b$ . בדוגמה הנתונה למשל (224), $\ a=22, b=4$ .

המספר שאנו בוחנים הוא $\ 10b+a$ . מבחן החלוקה אומר למעשה שאם $\ b-2a$ מתחלק ב 7 אז $\ 10b +a$ מתחלק גם כן ב 7. קל להראות זאת, כי אם $\ b-2a$ מתחלק ב 7 אז $\ 10 \cdot (b-2a)$ בוודאי מתחלק ב 7, וכשנפתח את הסוגריים נגלה שביטוי זה שווה ל $\ 10 b-20 a$ . כדי להגיע למספר המבוקש, שהוא $\ 10b+a$ , עלינו להוסיף בדיוק $\ 21 a$ . הוספנו ביטוי המתחלק ב 7 לביטוי אחר המתחלק ב 7, ולכן סכומם מתחלק ב 7 בוודאות. במילים אחרות, אם $\ 10 b-20 a$ מתחלק ב 7 אז בהכרח $\ 10b+a$ מתחלק ב 7, ובכך הוכחנו למעשה את תקפות הסימן.

[עריכה] הסבר פורמלי

ההסבר דורש ידע בסיסי בחשבון מודולרי / אלגברה לינארית .

נעבוד בשדה השאריות מודולו 7. נסמן את המספר ללא ספרות האחדות ב a, ואת ספרת האחדות ב b. בדוגמה הנתונה למשל (224), $\ a=22, b=4$ . השאלה האם המספר מתחלק ב 7 שקולה לשאלה האם המקדמים a,b פותרים את המשוואה

$\ 10 a+b = 0$ , השקולה, מודולו 7, למשוואה

$\ 3 a+b = 0$ . עתה נכפיל ב $\ 3 ^{-1}$ , שהוא $\ 5$ . תתקבל המשוואה

$\ a + 5 b = 0$ , השקולה, מודולו 7, למשוואה

$\ a-2b = 0$ וזו היא בדיוק הנוסחה המבוקשת - המספר ללא ספרת האחדות, פחות פעמיים ספרת האחדות.

ראינו כי ניתן באותה מידה להשתמש בסימן אחר - מספר מתחלק ב 7 אם כשמוסיפים למספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת ב 5, מתקבל מספר המתחלק ב 7. או גירסה מסובכת יותר - מספר מתחלק ב 7 אם כשמוסיפים לספרת האחדות את המספר ללא ספרת האחדות כשהוא מוכפל ב 3 מתקבל מספר המתחלק ב 7.

[עריכה] 8

מספר מתחלק ב-8 אם ורק אם המספר שיוצרות שלוש ספרותיו הימניות מתחלק ב-8.

הסבר

ההסבר דומה מאוד להסבר של סימן החלוקה של 4. המספר 1,000 מתחלק ב 8 ללא שארית, שהרי $\ 1,000 = 8 \cdot 125$ . נסתכל לדוגמה על המספר 2,064. ניתן להסתכל עליו בתור הסכום

$2,832 = 2,000 + 64 = 2 \cdot 1,000 + 64$ .

נפרק את 1,000 למכפלה

$2,064 = 2 \cdot (125 \cdot 8) + 64$ .

גילינו ש 2,064 מורכב מסכום של שני מספרים, כשהראשון מתחלק ב 8. לכן, על מנת ש 2,064 יתחלק ב 8 דרוש רק כי המחובר השני יתחלק בארבע, וזהו המספר שיוצרות שתי הספרות האחרונות - 64. ואכן,

$\ 2,064 = 258 \cdot 8$ .

[עריכה] 9

מספר מתחלק ב-9 אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-9.

הסבר

ההסבר זהה כמעט לגמרי לזה של סימן החלוקה של 3.

כל חזקה של 10 נותנת שארית 1 בחלוקה ב 9. לדוגמה:

$\ 10= 9+1 =9 \cdot 1+ 1$

$\ 100= 99+1 =9 \cdot 11+ 1$

$\ 1,000= 999+1 =999 \cdot 111+ 1$

וכן הלאה. מכאן ואילך ההסבר זהה לגמרי.

[עריכה] 11

מספר מתחלק ב-11 אם ורק אם לאחר שמחסרים ומחברים לסירוגין את ספרותיו מתקבל מספר שמתחלק ב-11 למשל, 924 מתחלק ב-11 שכן 9-2+4=11.

הסבר

* ההסבר דורש ידע בסיסי בחשבון מודולרי/ אלגברה לינארית.

חזקות של עשר מקיימות תכונה מעניינת בחלוקה ב 11 - השארית של חזקה של 10 בחלוקה ב 11 היא תמיד 1 או 1-, לסירוגין.

$\ 10^n =_{11} (-1) ^n$ . קל להבין זאת מהסתכלות על החוקיות הבאה:

$\ 10= 11-1$

$\ 100= 99+1 = 11 = 11\cdot 9 +1$

$\ 1,000= 1001-1=11 \cdot 91 -1$

$\ 10,000= 9,999+1 = 11 \cdot 909 +1$

$\ 100,000= 100,001-1=11 \cdot 9091 -1$

$\ 1,000,000= 999,999+1=11 \cdot 90,909 +1$

$\ 10,000,000= 10,000,001 -1 =11 \cdot 909,091 -1$

וכן הלאה. לכן, בחישוב שארית בייצוג של מספר בשיטה העשרונית, הספרות במקומות הזוגיים תורמות שארית 1, והספרות במקומות האי זוגיים תורמות שארית 1-. התנאי הוא שהסכום של שניהם יתחלק ב 11.

[עריכה] מבחני חלוקה התלויים בבסיס הספירה

באופן כללי, אם מספר נתון בבסיס ספירה b, ניתן לבדוק אם הוא מתחלק ב-b-1 או בכל מחלק של b-1 על ידי סיכום ספרותיו, כפי שנעשה עבור 9 ו-3 בבסיס 10. כך למשל עבור מספר שנתון בבסיס 8 די לבדוק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-7 כדי לדעת אם המספר כולו מתחלק ב-7. ההסבר זהה להסבר של סימן החלוקה של 3 ו 9.

באופן דומה, אם מספר נתון בבסיס ספירה b, ניתן לבדוק אם הוא מתחלק ב-b+1, על ידי חיבור וחיסור ספרותיו לסירוגין, כפי שנעשה עבור 11.

[עריכה] מבחני התחלקות כלליים

המספר 10x+y מתחלק ב- 10a+1 אם ורק אם x+(9a+1)y מתחלק ב- 10a+1
המספר 10x+y מתחלק ב- 10a+3 אם ורק אם x+(3a+1)y מתחלק ב- 10a+3
המספר 10x+y מתחלק ב- 10a+7 אם ורק אם x+(7a+5)y מתחלק ב- 10a+7
המספר 10x+y מתחלק ב- 10a+9 אם ורק אם x+(a+1)y מתחלק ב- 10a+9

ישנם מקרים בהם שני המחלקים שווים, ואז שיטת הבדיקה הזו אינה מועילה.
במקרים כאלה אפשר להפחית מהמחולק הראשון את המחלק ואז המחלק השני יהיה שונה.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%9E/%D7%91/%D7%97/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99_%D7%94%D7%AA%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%95%D7%AA.html

קטגוריות: אריתמטיקה | תורת המספרים

We provide Linux to the World

מבחני התחלקות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] מבחני חלוקה בסיסיים

[עריכה] 2

[עריכה] 3

[עריכה] 4

[עריכה] 5

[עריכה] 7

[עריכה] הסבר פורמלי

[עריכה] 8

[עריכה] 9

[עריכה] 11

[עריכה] מבחני חלוקה התלויים בבסיס הספירה

[עריכה] מבחני התחלקות כלליים

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות