מספרים זרים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

שני מספרים נקראים מספרים זרים, אם ורק אם המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא 1, כלומר, אין אף מספר גדול מאחת שמחלק את שניהם.

על-פי המשפט היסודי של האריתמטיקה אפשר לכתוב כל מספר באופן יחיד כמכפלה של גורמים ראשוניים. שני מספרים הם זרים אם ורק אם אין ברשימת הגורמים שלהם אף ראשוני משותף; לדוגמה, זר ל- .

דוגמאות נוספות:

• 5 ו-7 הם מספרים זרים.
• 4 ו-6 אינם זרים, מכיוון ששניהם מתחלקים ב-2.
• אם p ראשוני, אז כל מספר שאינו מתחלק ב- p בהכרח זר ל-p.

שלשה של מספרים נקראת 'שלשה זרה' (ולפעמים 'שלשה פרימיטיבית') אם אין אף מספר גדול מאחת המחלק את כולם; וכן לרביעיה, חמישיה או קבוצה גדולה יותר. אם המספרים בקבוצה זרים לזה לזה, אומרים שהם 'זרים בזוגות'.

[עריכה] תכונות של מספרים זרים

אם n ו- m זרים, אז הכפולה המשותפת המינימלית שלהם שווה למכפלתם nm.

קבוצת המספרים בין 1 ל- n הזרים ל-n היא חבורה ביחס לכפל מודולו n, הנקראת חבורת אוילר של n. גודלה של חבורה זו שווה ל-, כאשר היא פונקציית אוילר.

מכיוון שחוג המספרים השלמים הוא תחום ראשי, עבור כל שני מספרים זרים n ו-m אפשר למצוא מספרים שלמים a ו- b כך ש- . האלגוריתם של אוקלידס מוצא את המקדמים הללו בזמן קצר יחסית. מתכונה זו מתקבלת הוכחה קלה של משפט השאריות הסיני.

[עריכה] הכללות

בחוגים כלליים, לטענה שאיברים a ו- b זרים יכולה להיות שתי משמעויות: או שאין איבר (לא הפיך) שמחלק את שניהם, או שאין אידאל שמחלק את שניהם (ובמלים אחרות, האידאל שווה לכל החוג). האפשרות השנייה תמיד חזקה מן הראשונה, ובתחומי אידאלים ראשיים הן מתלכדות.

אומרים ששני אידאלים (של חוג כלשהו) הם זרים (או קו-מקסימליים, או מקסימליים הדדית), אם סכומם שווה לכל החוג. זוהי תכונה מרכזית בהכללה של משפט השאריות הסיני לחוגים כלליים.