דיפרנציאל (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

בחשבון אינפיניטסימלי בפרט ובאנליזה מתמטית בכלל, דיפרנציאל של פונקציה בנקודה מסוימת הוא קירוב לינארי של הפונקציה בנקודה זו.

עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד, מושג הדיפרנציאל שקול למושג הנגזרת, אולם כאשר עוברים לפונקציות של כמה משתנים, או לפונקציות שמחזירות וקטור, הדיפרנציאל הוא הכללה של הנגזרת, ושונה ממושג הנגזרת החלקית.

[עריכה] הגדרה פורמלית

תהא $\ f:\mathbb{R}^n\rarr\mathbb{R}^m$ פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה $\ p_0$ .

מהדיפרנציאביליות של הפונקציה נובע שניתן לכתוב: $\ f(p_0+\Delta p)=f(p_0)+D_p(\Delta p)+o(\Delta p)$ כאשר $\ o(\Delta p)$ מסמל פונקציה ששואפת לאפס כאשר $\ \Delta p$ שואף לאפס, ו $\ D_p$ מסמל טרנספורמציה לינארית מ- $\ \mathbb{R}^n$ אל $\ \mathbb{R}^m$ . הטרנספורמציה $\ D_p$ תיקרא הדיפרנציאל של הפונקציה $\ f$ בנקודה $\ p$ .

נשים לב כי הטרנספורמציה תלויה בנקודה $\ p$ - בכל נקודה יש לפונקציה $\ f$ קירוב לינארי שתלוי באותה נקודה.

[עריכה] מציאת הדיפרנציאל

ניתן להוכיח כי הדיפרנציאל של פונקציה דיפרנציאבילית $\ f$ בכל נקודה הוא יחיד. כמו כן ניתן להוכיח כי הוא מיוצג על ידי מטריצה ששורותיה הן הגרדיאנטים של הפונקציות הסקלריות המרכיבות את $\ f$ . מטריצה זו נקראת מטריצת יעקובי.

מכיוון שאנו מדברים על "דיפרנציאל בנקודה" ניתן להסתכל על הדיפרנציאל באופן כללי בתור פונקציה, שמתאימה לכל נקודה את הדיפרנציאל המתאים לאותה נקודה. זהו המובן הכללי של דיפרנציאל של פונקציה. כשם שנגזרת של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד היא פונקציה, שמתאימה לכל נקודה מספר (המספר הנגזר), גם דיפרנציאל מתאים לכל נקודה את מטריצת יעקובי של אותה הנקודה.

[עריכה] דוגמה

במקרה הפרטי של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד, $\ y=f(x)$ , אם הפונקציה גזירה בנקודה $\ x_0$ פירוש הדבר הוא שקיים הגבול הבא: $\ \lim_{\Delta x\rarr 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ . אם נסמן גבול זה בתור $\ f'(x_0)$ , נשים לב שמתקיים $\ f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$ . (ניתן לראות זאת על ידי חלוקה ב- $\ \Delta x$ והשאפתו לאפס).

מכאן שהדיפרנציאל במקרה זה הוא בדיוק המספר הנגזר של הפונקציה בנקודה $\ x_0$ . כאן הדיפרנציאל הוא "טרנספורמציה לינארית" שמיוצגת על ידי מטריצה של איבר בודד.

מקובל לעתים קרובות במקרה של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד $\ f$ לסמן את הדיפרנציאל שלה בתור $\ df$ . מכאן גם ניתן להבין את פשר הסימון $\ \frac{df}{dx}$ שמתאר נגזרת (כלומר, את $\ df$ ) - אם נסתכל על $\ x$ , המשתנה, כפונקציה של עצמו, הרי שהדיפרנציאל שלו בנקודה $\ x_0$ הוא 1. עם זאת, רצוי לזכור שזהו עדיין סימון בלבד - דיפרנציאלים הם העתקות לינאריות, ואין למנה שלהם משמעות מתמטית.