אי שוויון הממוצעים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

במתמטיקה, אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון גילה והוכיח אוגוסטין קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני אי-השוויונים שלכל קבוצה $\ a_1,\dots,a_n$ של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים $\ \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}} \leq (a_1 \cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{a_1+\dots+a_n}{n}$ , כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים $\ a_1,a_2,\dots,a_n$ שווים זה לזה.

[עריכה] רקע

אם $\ a_1,a_2,\dots,a_n$ מספרים חיוביים, הרי

הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב- n: $\ A_n=\frac{a_1+\dots+a_n}{n}$ ;
הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-n-י של מכפלתם: $\ G_n=(a_1 \cdots a_n)^{1/n}$ ;
הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: $\ H_n=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}}$ .

שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה $\ a_1,a_2,\dots,a_n$ . לפי אי-שוויון הממוצעים, $\ H_n\leq G_n \leq A_n$ . במקרה $\ n=2$ טענה זו קובעת כי $\ \frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}} \leq \sqrt{xy} \leq\frac{x+y}{2}$ ; עובדה זו נובעת, בסופו של דבר, מאי-השוויון הפשוט $\ 0\leq (x-y)^2$ .

[עריכה] הוכחתו של קושי

קושי הוכיח את אי-השוויון $\ G_n \leq A_n$ בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה": ראשית, הוא הראה שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בנות n מספרים, אז הוא מתקיים לסדרות בנות 2n מספרים - ולכן, באינדוקציה (רגילה), הוא מתקיים לסדרות בנות $\ 2^m$ מספרים, לכל m. בנוסף לזה, הראה קושי שאם אי-השוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים, אז הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מאיזו-שהיא חזקה של 2, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח שאי-השוויון $\ (a_1 \cdots a_n)^{1/n}\leq \frac{a_1+\dots+a_n}{n}$ מתקיים לכל $\ a_1,\dots,a_n$ חיוביים. אז

$\ (a_1\cdots a_{2n})^{1/2n}=\sqrt{(a_1 \cdots a_n)^{1/n}\cdot (a_{n+1}\cdots a_{2n})^{1/n}} \leq$

$\leq \sqrt{\frac{a_1+\dots+a_n}{n}\cdot \frac{a_{n+1}+\dots+a_{2n}}{n}}\leq$

$\leq \frac{\frac{a_1+\dots+a_{n}}{n}+\frac{a_{n+1}+\dots+a_{2n}}{n}}{2}=\frac{a_1+\dots+a_n+a_{n+1}+\dots+a_{2n}}{2n}$

כאשר אי-השוויון הראשון נובע מן ההנחה שאי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל n, והשני מן המקרה $\ n=2$ .

הצעד השני: נניח שאי-השוויון מתקיים לקבוצות בגודל n; אם נתונים $\ a_1,\dots,a_m$ כאשר $\ m<n$ , נסמן $\ \alpha = \frac{a_1+\dots+a_m}{m}$ ונקבל $\ (a_1\cdots a_m \cdot \alpha^{n-m})^{1/n} \leq \frac{a_1+\dots+a_m+(n-m)\alpha}{n} = \alpha$ , ולכן $\ \alpha \leq (a_1\cdots a_m)^{1/m}$ .

את אי-השוויון $\ H_n\leq G_n$ אפשר להוכיח בדרך דומה.

[עריכה] הכללות

אחת ההכללות החשובות לאי-השוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב $\ a_k$ מספר פעמים, למשל $\ p_k$ . אם $\ a_1,\dots,a_n$ חיוביים כמקודם ו- $\ p_1,\dots,p_n$ שלמים חיוביים וסכומם $\ P$ , אז אי-השוויון הופך להיות