Lukujono

Wikipedia

Lukujono tai yksinkertaisesti jono on luettelo tietyn joukon alkioita.

Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä.

Esim. (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

Sisällysluettelo

1 Määritelmä
2 Erikoistapauksia
- 2.1 Aritmeettinen lukujono
- 2.2 Geometrinen lukujono
3 Esimerkkejä

[muokkaa] Määritelmä

Tarkemmin lukujonolla (a_n) tarkoitetaan kuvausta

$a:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{K}$

missä $\mathbb{N}$ on luonnollisten lukujen joukko ja $\mathbb{K}$ mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = a_n. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, ks. esimerkiksi osajono. Lukuja a₀, a₁, a₂,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on rationaalilukujono, jne.

[muokkaa] Erikoistapauksia

[muokkaa] Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus $d$ on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on $a n = a 1 + d (n - 1)$ .

[muokkaa] Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä $q$ on vakio. Geometrisen lukujonon yleinen termi on $a n = a 1 q (n - 1)$ .

[muokkaa] Esimerkkejä

1. $(a n) = n$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa $a 0 = 0, a 1 = 1$ ...

Toisin sanoen $(a n) = 1,2,3,4,5,6,...$

2. $(b n) = n 2$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa $a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 4,...$ 3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

$\left\{ \begin{matrix} f_1 & = & 1 & \\ f_2 & = & 1 & \\ f_{n+1} & = & f_n + f_{n-1}, & n=2, 3, 4... \end{matrix} \right.$

Täten esimerkiksi $f_3=f_2 + f_1 = 1+1 = 2, \quad f_4=f_3 + f_2 = 2 + 1 = 3$ .
Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...