Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö
Wikipedia
Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on epänegatiivisia reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan lukujen keskiarvo on suurempi kuin niiden keskiverto. Muodollisesti, jos pätee 
, niin on voimassa
![\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}](../../../math/8/f/9/8f9b47d0eca1c2b15ebad28946ea50fc.png)
.Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos 
.
Jos lukujen xi oletetaan kaikkien olevan positiivisia ja sovelletaan aritmeettis-geometrista epäyhtälöä lukuihin 
, saadaan geometris-harmoninen epäyhtälö
![\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}](../../../math/1/f/4/1f4daa5cc6dbc4a6e425a8c9ab20a874.png)
.Tässä epäyhtälön oikealla puolella oleva lauseke on nimeltään harmoninen keskiarvo.
