Método de ortogonalización de Gram-Schmidt

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El método de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un método utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rⁿ.

Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v₁,…, v_k los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u₁, …, u_k los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v₁, …, v_k.

Este método lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

[editar] Método de Gram–Schmidt

Los dos primeros pasos del método de Gram–Schmidt

Definimos el operador proyección con

$\mathrm{proj}_{\mathbf{u}}\,\mathbf{v} = {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle\over\langle \mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle}\mathbf{u}.$

donde los corchetes angulares representan el producto escalar, proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u.

Antes de ver el método, debemos comprender el por qué de la definición de proyección. Si recordamos la definición de producto escalar, tenemos para el caso del numerador módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman. En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a la izquierda tenemos únicamente "módulo de v * cos (ángulo que forman)", lo que nos da claramente el módulo del vector proyección. Teniendo el módulo del vector proyección lo único que debemos hacer es asignarle una dirección, cosa que hacemos multiplicándolo por u/módulo(u), lo que es el vector de módulo 1 con dirección u (el vector unitario).

El método de Gram–Schmidt entonces funciona como sigue:

	$\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1,$		$\mathbf{e}_1 = {\mathbf{u}_1 \over \|\|\mathbf{u}_1\|\|}$
	$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_2,$		$\mathbf{e}_2 = {\mathbf{u}_2 \over \|\|\mathbf{u}_2\|\|}$
	$\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1}\,\mathbf{v}_3-\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_2}\,\mathbf{v}_3,$		$\mathbf{e}_3 = {\mathbf{u}_3 \over \|\|\mathbf{u}_3\|\|}$
	$\vdots$		$\vdots$
	$\mathbf{u}_k = \mathbf{v}_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm{proj}_{\mathbf{u}_j}\,\mathbf{v}_k,$		$\mathbf{e}_k = {\mathbf{u}_k\over\|\|\mathbf{u}_k\|\|}$

[editar] Ejemplo

Considera el siguiente conjunto de vectores en Rⁿ (con el convencional producto interno)

$S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.$

Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:

$\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$

$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}.$

Verificamos que los vectores u₁ y u₂ son de hecho ortogonales:

$\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.$