Грам-Шмитов поступак

Из пројекта Википедија

Грам-Шмитов поступак је метод у линеарној алгебри, који служи за ортогонализацију скупа вектора у задатом еуклидском простору.

Поступак је следећи. Узмимо на пример векторски простор произвољне димензије Rⁿ, са базом {v₁, v₂, ... ,v_n}, Грам-Шмитовим поступком ортогонализације можемо да трансформишемо базу {v_i} у ортонормирану базу, {u_i}. Прво нормализујемо v₁: u₁=v₁/||v₁||.

Затим израчунавамо w₂=v₂-<v₂,u₁>u₁, па нормализујемо w₂: u₂=w₂/||w₂||

Овај поступак применимо за све векторе из базе {v_i}: w_i+1=v_i+1-<v_i+1,u_iui>- ... - <v_i+1,u₁>u₁ и u_i+1=w_i+1/||w_i+1||. Вектори {u₁, ... ,v_n} су линеарно независни, и стога чине базу векторског простора Rⁿ.

[уреди] Пример

Узмимо следећи скуп вектора у Rⁿ (са уобичајеним скаларним производом)

$S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.$

Сада применимо Грам-Шмитов поступак како бисмо добили ортогонални скуп вектора:

$\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$

$\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}.$

Проверимо векторе u₁ и u₂ како бисмо утврдили да су стварно ортогонални:

$\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.$