Glosario de topología

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Esto es un glosario de algunos términos que se usan en la rama de la matemática conocida como topología. Aunque no existe una distinción clara entre las diferentes áreas de la topología, este glosario estará centrado fundamentalmente en lo que podemos llamar la topología general y en las definiciones que sean importantes para varias áreas. Puedes ver el artículo sobre espacios topológicos para consultar las definiciones básicas y algunos ejemplos, y también el artículo "Topología" para tener una descripción introductoria de la materia.

Añadimos los siguientes artículos que te pueden también resultar de utilidad, que contienen vocabulario especializado o bien dan más detalles acerca de lo que exponemos en este glosario. Asimismo existe una útil lista de tópicos en topología general.

espacio compacto
espacio conexo
continuidad (topología)
espacio métrico
conjuntos separados
axioma de separación
espacio uniforme

En este artículo cuando digamos "espacio" queremos decir espacio topológico, a no ser que digamos otra cosa.

Las entradas del glosario a veces van por el adjetivo, por ejemplo, punto aislado está en la "a", espacio de Sierpinski en la "s", esto es, cuando a un concepto más común, como punto, espacio, etc, le añadimos algo, esto último regirá la correspondiente entrada del diccionario.

Índice:

A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z

[editar] A

conjunto abierto. Un miembro de la topología. Realcionado con el concepto de interior de un conjunto

Aplicación abierta. Una función de un espacio a otro es abierta si la imagen de cualquier abierto es abierta.

Accesible. Ver T₁.

adherencia. La adherencia de un conjunto es la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen. Es el cerrado más pequeño que contiene al conjunto original.

punto aislado. Un punto x es un punto aislado si el conjunto singletón {x} es abierto.

[editar] B

espacio de Baire. Un espacio es un espacio de Baire si cualquier intersección enumerable de conjuntos abiertos densos es también densa.

Base. Un conjunto de conjuntos abiertos es una base (o basis) para una topología si cada conjunto abierto en la topología es unión de conjuntos de la base. La topología generada por una base es la menor topología que contenga los elementos de la base; esta topología está compuesta de todas las uniones de elementos de la base.

base de entornos. Ver base local.

álgebra de Borel. El álgebra de Borel sobre un espacio X es la menor σ-algebra que contenga todos los conjuntos abiertos.

Boreliano, o conjunto de Borel. Un conjunto de Borel es un elemento de un álgebra de Borel.

[editar] C

Cauchy, sucesión de Cauchy. Una sucesión {x_i} en un espacio métrico M con la métrica d es llamada sucesión de Cauchy (o Cauchy de forma breve) si para todo número real positivo r, existe un número entero N tal que para todo par de enteros m y n mayores que N, la distancia d(x_m, x_n) es menor que r.

Clopen, conjunto clopen. Un conjunto es clopen si es abierto y cerrado.

Cerrado, conjunto cerrado. Un conjunto es cerrado si el complementario es un miembro de la topología (un abierto).

función cerrada. Una función de un espacio a otro es cerrada si la imagen de cada conjunto cerrado es cerrada.

espacio cociente. Si X e Y son espacios y f : X → Y es cualquier función, el espacio cociente sobre Y inducido por f es la topología menos fina para la que f es continua. El ejemplo más común de este espacio es el que se consigue con una relación de equivalencia en X, siendo Y el conjunto de las clases de equivalencia y f la aplicación proyección natural.

Compacto. Un espacio es compacto si todo recubrimiento abierto contiene un subrecubrimiento finito. Los espacios compactos son siempre Lindelöf y paracompactos. Los espacios compactos Hausdorff son por tanto normales.

Contablemente compacto. Un espacio es contablemente compacto si cada recubrimiento enumerable abierto tiene un subrecubrimiento finito.

Topología compacto-abierta Una topología sobre el conjunto de las aplicaciones continuas C(X, Y) entre dos espacios topológicos X e Y definida como sigue:

Dado un subconjunto compacto $K\subset X$ y un subconjunto abierto $U\subset Y$ denotemos con $V K, U$ al conjunto de todas las funciones $f\in C(X,Y)$ tales que $f(K)\subset U$ . La topología se obtiene tomando la colección de todos los $V K, U$ como subbase de la topología.

Completo. Un espacio métrico es completo si cada sucesión de Cauchy converge.

Completamente metrizable. Es un espacio cuya topología es inducida por una métrica en el.

Completamente normal. Un espacio es completamente normal si cualesquiera dos conjuntos separados tienen entornos disjuntos.

Completamente normal y Hausdorff. Un espacio completamente normal y Hausdorff (o de tipo T₅) es un espacio completamente normal y de tipo T₁. (Un espacio completamente normal es Hausdorff ssi es T₁, así que la terminología es consistente.) También los espacios "completamente normales" y Hausdorff son siempre normales y Hausdorff.

Completamente regular. Un espacio es completamente regular si para cualesquiera C (conjunto cerrado) y p punto que no esté en C, C y {p} están funcionalmente separados.

completamente T₃. Ver Tychonoff.

Componente. Ver componente conexa.

Conexo. Un espacio X es conexo si no es la unión de un par de conjuntos no vacíos y abiertos. De forma equivalente, un espacio es conexo si los únicos conjuntos "clopen" son el conjunto vacío y todo el espacio X.

Conexo por caminos. Un espacio X es conexo por caminos si para cada dos puntos x, y en X, existe un camino p de x a y, esto es, una aplicación continua p: [0,1] → X con p(0) = x y p(1) = y. Los espacios de este tipo son siempre conexos.

componente conexa. Una componente conexa de un espacio es un subespacio conexo maximal. Las componentes conexas del espacio forman una partición del mismo.

Continua (aplicación o función). Una función de un espacio a otro es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierta.

Continuo. Un continuo es un conjunto conexo y compacto.

Contractible. Un espacio X se dice contractible si la aplicación identidad sobre X es [[homotopía|homotópica a una aplicación constante. Los espacios contractibles son siempre simplemente conexos, simple-conexos.

Cubierta. Ver recubrimiento.

[editar] D

topología débil. La topología débil en un conjunto, con respecto a una colección de funciones desde ese conjunto a espacios topológicos, es la topología más débil sobre el conjunto que hace que todas las funciones sean continuas.

débilmente hereditaria. Una propiedad de los espacios se dice débilmente hereditaria si cuando un espacio la tiene, entonces todo subespacio cerrado también. Por ejemplo, la compacidad y la propiedad Lindelöf son ambas débilmente hereditarias, aunque ninguna es hereditaria.

denso. Un conjunto denso es uno que "intersecciona" a todo abierto no vacío del espacio. De forma equivalente, un conjunto es denso si su adherencia es todo el espacio.

conjunto denso en ninguna parte. Es un conjunto cuya adherencia tiene interior vacío.

topología discreta. Ver espacio discreto.

espacio discreto. Un espacio X es un espacio discreto si cada subconjunto de X es abierto. Decimos que X tiene la topología discreta.

Disco (matemática) cerrado o abierto, figura geométrica, concepto topológico en espacios métricos. Ver epsilon vecindad.

[editar] E

Entorno. Un entorno de un conjunto S es un conjunto que contiene a un abierto que a su vez contiene a S. (Notar que el entorno en sí mismo no necesita ser abierto.) Un entorno de un punto p es un entorno del conjunto singletón {p}. Es lo mismo que vecindad. Véase interior.

Entorno agujereado de "p". Un entorno así, de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (-1,1) = {x : -1 < x < 1} es un entorno de 0 en la línea real, y el conjunto (-1,0) ∪ (0,1) = (-1,1) - {0} es un entorno agujereado del 0.

"Entourage". Ver espacio uniforme.

Estructura uniforme. Ver espacio uniforme.

[editar] F

Frontera. La frontera de un conjunto es la adherencia del conjunto menos su interior. O de forma equivalente, la frontera de un conjunto es la intersección de su adherencia con la adherencia del complementario.

conjunto F_σ. Un conjunto F_σ es una unión enumerable de cerrados.

Funcionalmente separados. Dos conjuntos A y B en un espacio X son funcionalmente separados si existe una función continua desde X al intervalo [0,1] con la propiedad de que A es llevado al 0 y B al 1.

[editar] G

conjunto G_δ. Un conjunto G_δ es una intersección enumerable de abiertos.

[editar] H

Hausdorff. Un espacio es Hausdorff (o T₂) si todo par de puntos distintos tienen entornos disjuntos. Los espacios Hausdorff son siempre T₁.

Hereditario. Una propiedad de espacios es hereditaria si ocurre que teniéndola un espacio la tienen también todos sus subespacios. Por ejemplo, la segunda-contabilidad es una propiedad así.

homeomorfismo. Un homeomorfismo de un espacio X a otro Y es una aplicación biyectiva f : X → Y tal que f y f^-1 son continuas. Los espacios X e Y se dirían entonces homeomorfos. Desde el punto de vista "geométrico-topológico", o sea, desde el punto de vista de la topología, dos espacios homeomorfos son idénticos.

homogéneo. Un espacio X es homogéneo si para cada x e y en X existe un homeomorfismo f : X -> X tal que f(x) = y. Intuitivamente significa que el espacio parece el mismo desde cada punto. Todos los grupos topológicos son homogéneos.

Aplicaciones homotópicas, homótopas. Dos aplicaciones continuas f, g : X -> Y son homótopo si existe una aplicación continua H: X× [0,1] → Y, tal que H(x,0) = f(x) y H(x,1) = g(x) para todo x en X. Aquí el espacio X × [0,1] viene dado por la topologíá producto usual. La función H se llama homotopía entre f y g.

[editar] I

espacio indiscreto. Ver topología trivial.

topología indiscreta. Ver topología trivial.

Interior (topología). El interior de un conjunto es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en él. Es el conjunto abierto más grande contenido en el original.

[editar] K

Kolmogorov. Ver T₀.

axiomas de cerrados de Kuratowski. Son un conjunto de axiomas satisfechos por el operador de adherencia "C":

isotonicidad: cada conjunto A está contenido en su adherencia C(A).
Idempotencia: la adherencia de un conjunto A (C(A)) es igual a la adherencia de C(C(A)).
Preservación de uniones binarias: la adherencia de una unión de dos conjuntos es la unión de sus adherencias.
Preservación de uniones "nulas": La adherencia del conjunto vacío es vacía.

[editar] L

punto límite. Un punto x en X es un límite de un subconjunto S si cada conjunto abierto que contenga a x también contiene un punto de S distinto de x. Esto es equivalente a pedir que cada entorno de x contenga un punto de S distinto del propio x.

Lindelöf. Un espacio es Lindelöf si cada recubrimiento abierto tiene un subrecubrimiento contable. Ver recubrimiento abierto.

base local. Un conjunto B de entornos de un punto x en un espacio X es una base local (o base de entornos) en un punto x si cada entorno de x contiene algún miembro de B.

localmente. Un espacio se dice que cumple la propiedad P localmente si para cada punto existe un entorno donde la propiedad se cumple.

Localmente compacto. Un espacio lo es si cada punto tiene una base local compuesta de entornos compactos. Los espacios localmente compactos son simempre Tychonoff.

Localmente conexo. Un espacio lo es si cada punto tiene una base local de conjuntos conexos.

Localmente finito. Una colección de subconjuntos de un espacio es localmente finita si cada punto tiene un entorno que intersecciona sólo un número finito de tales subconjuntos.

Localmente metrizable. Un espacio lo es si cada punto tiene un entorno metrizable.

Localmente conexo por caminos. Un espacio lo si cada punto tiene una base local compuesta de conjuntos conexos por caminos. Un espacio localmente conexo por caminos es conexo ssi es conexo por caminos.

[editar] M

Meagre. Ver primera categoría.

métrica. Ver espacio métrico.

espacio métrico. Es un conjunto M equipado con una función d : M × M → R que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z en M:

d(x, y) ≥ 0
d(x, x) = 0
si d(x, y) = 0 entonces x = y (identidad de indiscernibles)
d(x, y) = d(y, x) (simetría)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular)

La función d se llama métrica en M.

Metrizable. Un espacio lo es si es homeomorfo a un espacio métrico. Estos espacios son siempre Hausdorff y paracompactos (y por tanto normales y Tychonoff), y primero-contables.

[editar] N

espacio normal. Un espacio es normal si cualesquiera dos conjuntos cerrados disjuntos tienen entornos disjuntos. Los espacios normales admiten particiones de la unidad.

Normal Hausdorff. Un espacio normal Hausdorff (o T₄) es un espacio normal y T₁. (Un espacio normal es Hausdorff ssi es T₁, así que la terminología es consistente.) Estos espacios son siempre Tychonoff.

[editar] P

Paracompacto. Un espacio lo es si cada recubrimiento abierto tiene un refinamiento abierto localmente finito. Los espacios paracompactos Hausdorff son normales.

Partición de la unidad. Una partición de la unidad de un espacio X es un conjunto de funciones continuas de X a [0,1] tal que todo punto tenga un entorno donde todas las funciones sean cero excepto un número finito de ellas, y que la suma de todas las funciones sobre todo el espacio sea idénticamente 1.

Punto. Este término se usa a menudo para referirse a los elementos del espacio topológico.

"Polish". Un espacio se dice "Polish" si es metrizable con métrica separable y completa.

Precompacto. Ver relativamente compacto.

Primera categoría, o "meagre". Si X es un espacio y A es un subconjunto de X, entonces A es meagre en X (o de primera categoría en X) si es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte. Si A no es "meagre" en X, A se dice a veces de segunda categoría en X.

Primero-contable. Un espacio es primero-contable si cada punto tiene una base local enumerable.

topología producto. Si {X_i} es una colección de espacios y X es el producto cartesiano de los {X_i}, entonces la topología producto sobre X es la topología menos fina para la cual todas las aplicaciones proyección son continuas.

[editar] R

Recubrimiento. Una colección {U_i} de subconjuntos de un espacio X es un recubrimiento o cubierta si su unión es todo el espacio X.

Recubrimiento abierto. Un recubrimiento formado por abiertos. Ver recubrimiento.

Red. Una red ("net") en un espacio X es una aplicación desde un conjunto dirigido A hacia X. Se denota usualmente con (x_α), donde α es una variable de índices que toma valores en A. Cada sucesión es una red si elegimos que A sea el conjunto dirigido de los números naturales con el orden usual.

Refinamiento. Un recubrimiento K es un refinamiento de otro recubrimiento L si cada miembro de K es un subconjunto de algún miembro de L.

espacio regular. Un espacio es regular si para cualesquiera C cerrado y p un punto en C, entonces C y p tienen entornos disjuntos.

Regular Hausdorff. Un espacio es regular Hausdorff (o T₃) si es T₀ y regular. (Un espacio regular es Hausdorff ssi es T₀, así que la terminología es consistente.)

relativamente compacto. Un subconjunto Y de un espacio X es relativamente compacto si la adherencia de Y en X es compacta.

Residual. Si X es un espacio y A es un subconjunto de X, entonces A es residual en X si el complemento de A es "meagre", de primera categoría, en X.

[editar] S

Segunda categoría. Ver meagre, "primera categoría".

Segundo-contable. Un espacio es 2º-contable si tiene una base contable para su topología. Estos espacios son siempre separables, 1º-contables y Lindelöf.

Separable. Un espacio es separable si tiene un subconjunto contable denso.

Separados. Dos conjuntos A y B son separados si la adherencia de cada uno es distinta de la del otro.

espacio de Sierpinski. Sea S = {0,1}. Entonces T = {{},{1},{0,1}} es una topología en S, y el espacio que resulta se llama de Sierpinski. El el ejemplo más simple de espacio que no es T₁.

Simple conexo. Un espacio X es simple conexo si es conexo por caminos y cada aplicación continua f: S¹ → X es homótopo a una aplicación constante.

Subbase. Un conjunto de conjuntos abiertos es una subbase para una topología si cada conjunto abierto en la topología es una unión de intersecciones finitas de conjuntos en la subbase. La topología generada por una subbase es la topología más pequeña que contiene a los elementos de la subbase; esta topología consiste de todas las intersecciones finitas de uniones de elementos de la subbase.

Subrecubrimiento. Un recubrimiento K es un subrecubrimiento (o subcubierta) de un recubrimiento L si cada miembro de K es un miembro de L.

Subcubierta. Ver Subrecubrimiento.

Subespacio. Si X es un espacio y A es un subconjunto de X, entonces la topología en A inducida por X está formada por todas las intersecciones de conjuntos abiertos en X con A.

[editar] T

T₀. Un espacio es T₀ (o Kolmogorov) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, o bien existe un abierto que contiene a x pero no a y, o existe un abierto que contiene a y pero no a x.

T₁. Un espacio es T₁ (o accessible) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, existe un abierto que contiene a x pero no a y. (Comparar con T₀; aquí, permitimos especificar qué punto es el que está contenido en el abierto.) De forma equivalente, un espacio es T₁ si todos sus conjuntos singletones son cerrados. Los espacios T₁ son siempre T₀.

T₂. Ver Hausdorff.

T₃. Ver Regular Hausdorff.

T_3½. Ver Tychonoff.

T₄. Ver Normal Hausdorff.

T₅. Ver Completamente normal Hausdorff.

Espacio topológico. Un espacio topológico es un conjunto X equipado con una colección T de subconjuntos de X que satisface las condiciones siguientes:

El conjunto vacío y X están en T.
La unión de cualquier colección de conjuntos en T está también en T.
La intersección de cualquier par de conjuntos en T está también en T.

La colección T se llama topología en X. Decimos que X es un espacio topológico porque hemos dado una topológia (T) en él.

Topología. Ver espacio topológico.

Topológicamente completo. Un espacio topológicamente completo es un espacio que es homeomorfo a un espacio métrico completo.

Topología geométrica: estudio de las relaciones y propiedades entre los espacios topológicos de dimensiones bajas. Véase topología de dimensiones bajas

Topología cociente. Es la forma de hacer espacio topológicos desde uno inicial, mediante de relaciones de equivalencia

Totalmente disconexo. Un espacio es totalmente disconexo si no tiene subconjuntos conexos con más de un punto.

topología trivial. La topología trivial en un conjunto X se compone del conjunto vacío y de X, el espacio entero.

Tychonoff. Un espacio Tychonoff (o completamente regular Hausdorff, completamente T₃, o T_3½) es un espacio completamente regular y T₀. (Un espacio completamente regular es Hausdorff sii es T₀, así que la terminología es consistente.) Los espacios Tychonoff son siempre regulares Hausdorff.

[editar] U

espacio uniforme. Un espacio uniforme es un conjunto U equipado con un sistema no vacío Φ de subconjuntos del producto cartesiano X × X que satisface:

si U está en Φ, entonces U contiene { (x, x) | x en X }.
si U está en Φ, entonces { (y, x) | (x, y) en U } está también en Φ
si U está en Φ y V es un subconjunto de X × X que contiene a U, entonces V está en Φ
si U y V están en Φ, entonces U ∩ V está en Φ
si U está en Φ, entonces existe V en Φ tal que, para cualesquiera (x, y) y (y, z) que estén en V, entonces (x, z) está en U.