Supremo

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[editar] Definición

Sea $Ω$ un conjunto no vacío entre cuyos elementos hay definida una relación de orden $\le$ ; sea $A\subset\Omega$ un subconjunto acotado superiormente y sea $C^{+}\subset\Omega$ el conjunto de las cotas superiores de $A$ . El supremo de $A$ es la menor de las cotas superiores (en otras palabras: $s\in C^{+}$ es supremo de $A$ si $s\le c$ para todo $c\in C^{+}$ ).

Si $A$ está acotado inferiormente y $C^{-}\subset\Omega$ es el conjunto de las cotas inferiores, se dice que $s\in C^{-}$ es ínfimo de $A$ si es la mayor de las cotas inferiores (en otras palabras: $s\in C^{-}$ es ínfimo de $A$ si $s\ge c$ para todo $c\in C^{-}$ ). Todo lo que vale para el supremo vale para el ínfimo si se invierte la relación de orden.

[editar] Propiedades

El supremo de un conjunto es siempre una cota superior del mismo, pero no tiene por qué pertenecer a él. Cuando lo hace, se denomina máximo (lo mismo para el ínfimo, y entonces se denomina mínimo).

Un conjunto acotado superiormente no tiene por qué tener supremo. Por ejemplo, si $\mathbb{Q}$ denota el conjunto de los números racionales, y definimos $A=\{x\in\mathbb{Q} : x^2<2\}$ , entonces $C=\{x\in\mathbb{Q} : x^2>2\}$ es el conjunto de todas sus cotas superiores. Pero no hay ningún elemento $s\in C$ que verifique la definición de supremo: elijamos el que elijamos, siempre habrá otro elemento de $C$ menor que él. (En este ejemplo, el supremo de $A$ es el número que denotamos $\sqrt{2},$ que no es racional, sino irracional. Es necesario ampliar el conjunto de los números racionales con los números irracionales dando lugar a $\mathbb{R}$ , el conjunto de los números reales, para que todo conjunto acotado superiormente tenga un supremo.)

Si existe el supremo de un conjunto, éste es único. En efecto, si $s 1$ y $s 2$ son ambos supremos de $A$ , entonces, por la definición, $s_1\le s_2$ y también $s_2\le s_1$ , con lo que $s 1 = s 2$ , por la propiedad antisimétrica de la relación de orden.