Vikipedio:Projekto matematiko/Vektora pakaĵo

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Vektora pakaĵo (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, vektora pakaĵo estas geometria konstrui kie al ĉiu punkto de topologia spaco (aŭ (dukto (matematiko), dukto), aŭ algebra diversaĵo) ni alfiksi vektora spaco en kongrua vojo, tiel ke ĉiuj tiuj vektoraj spacoj, "gluis kune", (formo, formi) alia topologia spaco (aŭ (dukto (matematiko), dukto) aŭ (diversaj, diversaĵo)). Tipa ekzemplo estas la tangenta pakaĵo de diferencialebla dukto: al ĉiu punkto de la (dukto (matematiko), dukto) ni alfiksi la tangenta spaco de la (dukto (matematiko), dukto) je (tiu, ke, kiu) punkto. Aŭ konsideri glata kurbo en R², kaj alfiksi al ĉiu punkto de la kurbo la linio normala al la kurbo je (tiu, ke, kiu) punkto; ĉi tiu rendimento la "normala pakaĵo" de la kurbo.

Ĉi tiu artikolo (kontraktoj, kontraktas) plejparte kun (reala, reela) vektoraj pakaĵoj, kun finidimensia (fibroj, fibras). Komplekso vektoraj pakaĵoj estas grava en multaj (okazoj, skatoloj, kestoj, kestas, okazas), ankaŭ; ili estas speciala okazo, signifo (tiu, ke, kiu) ili povas vidiĝi kiel superflua strukturo sur suba (reala, reela) pakaĵo.

Enhavo 1 Difino kaj unuaj konsekvencoj 2 Vektoraj pakaĵaj strukturkonservantaj transformoj 3 Sekcioj kaj loke liberaj kunligaĵoj 4 (Operacioj, Operacias) sur vektoraj pakaĵoj 5 (Variantoj, Variantas) kaj (ĝeneraligoj, ĝeneraligas) 6 Referencoj

[redaktu] Difino kaj unuaj konsekvencoj

(Reala, Reela) vektora pakaĵo estas donita per jenaj datumoj:

• topologiaj spacoj X (la "baza spaco") kaj E (la "tuteca spaco")
• kontinua mapo π : E → X (la "projekcio")
• por ĉiu x en X, la strukturo de (reala, reela) vektora spaco sur la fibro π⁻¹({x})

(veriganta, kontentiganta) jeno _compatibility_ kondiĉo: por ĉiu punkto en X estas (malfermi, malfermita) najbaraĵo U, natura nombro n, kaj homeomorfio φ : U × Rⁿ → π⁻¹(U) tia (tiu, ke, kiu) por ĉiu punkto x en U:

• π&φ;(x,v) = x por ĉiuj (vektoroj, vektoras) v en Rⁿ
• la mapo v φ(x,v) rendimenta izomorfio inter la vektoraj spacoj Rⁿ kaj π⁻¹({x}).

La (malfermi, malfermita) najbaraĵo U kaj ankaŭ la homeomorfio φ estas (nomita, vokis) loka _trivialization_ de la pakaĵo. La loka _trivialization_ montras (tiu, ke, kiu) "loke" la mapo π (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati la projekcio de U × Rⁿ sur U.

Vektora pakaĵo estas (nomita, vokis) bagatela se estas "malloka _trivialization_", kio estas se ĝi (aspektas, aspektoj, rigardas) ŝati la projekcio X × Rⁿ → X.

Ĉiu vektora pakaĵo π : E → X estas (surjekcia, surĵeta), ekde vektoraj spacoj ne povas esti malplena.

Ĉiu fibro π⁻¹({x}) estas finidimensia (reala, reela) vektora spaco kaj de ĉi tie havas dimensio d_x. La funkcio x d_x estas loke konstanto, kio estas ĝi estas konstanto sur ĉiuj koneksaj komponantoj de X. Se ĝi estas konstanto (tutmonde, malloke) sur X, ni (voko, voki) ĉi tiu dimensio la rango de la vektora pakaĵo. Vektoraj pakaĵoj de rango 1 estas (nomita, vokis) liniaj pakaĵoj.

[redaktu] Vektoraj pakaĵaj strukturkonservantaj transformoj

strukturkonservanta transformo de la vektora pakaĵo π₁ : E₁ → X₁ al la vektora pakaĵo π₂ : E₂ → X₂ estas donita per paro de kontinua (mapoj, mapas) f : E₁ → E₂ kaj g : X₁ → X₂ tia (tiu, ke, kiu)

• gπ₁ = π₂f

• por ĉiu x en X₁, la mapo π₁⁻¹({x}) → π₂⁻¹({g(x)}) konkludis per f estas lineara transformo inter vektoraj spacoj.

La klaso de ĉiuj vektoraj pakaĵoj kaj ankaŭ pakaĵaj strukturkonservantaj transformoj (formoj, formas) kategorio. Limiganta al glata (duktoj, duktas) kaj glataj pakaĵaj strukturkonservantaj transformoj ni ricevi la kategorio de glataj vektoraj pakaĵoj.

Ni povas ankaŭ konsideri la kategorio de ĉiuj vektoraj pakaĵoj super (fiksis, neŝanĝebligita) baza spaco X. Kiel strukturkonservantaj transformoj en ĉi tiu kategorio ni preni tiuj strukturkonservantaj transformoj de vektoraj pakaĵoj kies mapo sur la baza spaco estas la identa surĵeto sur X. Tio estas, pakaĵaj strukturkonservantaj transformoj por kiu jena figuro komutiĝas:

((Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu kategorio estas ne abela; la kerno de strukturkonservanta transformo de vektoraj pakaĵoj estas en ĝenerala ne vektora pakaĵo en (ĉiu, iu) natura vojo.)

[redaktu] Sekcioj kaj loke liberaj kunligaĵoj

Donita vektora pakaĵo π : E → X kaj (malfermi, malfermita) subaro U de X, ni povas konsideri sekcioj de π sur U, kio estas kontinuaj funkcioj s : U → E kun πs = _id__U. Esence, sekcio asignas al ĉiu punkto de U vektoro de la alfiksis vektora spaco, en kontinua maniero. Kiel ekzemplo, sekcioj de la tangenta pakaĵo de diferencialo (dukto (matematiko), dukto) estas nenio sed vektoraj kampoj sur (tiu, ke, kiu) (dukto (matematiko), dukto).

Estu F(U) esti la aro de ĉiuj sekcioj sur U. F(U) ĉiam enhavas almenaŭ unu ero, nome la nula sekcio: la funkcio s (tiu, ke, kiu) (mapoj, mapas) ĉiu ero x de U al la nula ero de la vektora spaco π⁻¹({x}). Kun la punktlarĝa aldono kaj skalara multipliko de sekcioj, F(U) iĝas sin (reala, reela) vektora spaco. La kolekto de ĉi tiuj vektoraj spacoj estas fasko de vektoraj spacoj sur X.

Se s estas ero de F(U) kaj α : U → R estas kontinua mapo, tiam αs estas en F(U). Ni vidi (tiu, ke, kiu) F(U) estas modulo (modela teorio) super la ringo de kontinua (reala, reela)-valoraj funkcioj sur U. Plue, se O_X signifas la struktura fasko de kontinua (reala, reela)-valoraj funkcioj sur X, tiam F iĝas fasko de O_X-(moduloj, modulas).

Ne ĉiu fasko de O_X-(moduloj, modulas) ekestas en ĉi tiu (modo, maniero) de vektora pakaĵo: nur la loke liberaj aĵoj fari. (La kaŭzo: loke ni estas (aspektanta, rigardanta) por sekcioj de projekcio U × Rⁿ → U; ĉi tiuj estas precize la kontinuaj funkcioj U → Rⁿ, kaj tia funkcio estas n-opo de kontinuaj funkcioj U → R.)

(Ebena, Para, Eĉ) pli: la kategorio de (reala, reela) vektoraj pakaĵoj sur X estas ekvivalento al la kategorio de loke libera kaj finie generitaj kunligaĵoj de O_X-(moduloj, modulas). (Do, Tiel) ni povas (opinii, pensi) de la vektoraj pakaĵoj kiel (sidanta, kovanta, seanco) ene la kategorio de kunligaĵoj de O_X-(moduloj, modulas); ĉi tiu lasta kategorio estas abela, (do, tiel) ĉi tiu estas kie ni povas komputi (kernoj, kernas) de strukturkonservantaj transformoj de vektoraj pakaĵoj.

[redaktu] (Operacioj, Operacias) sur vektoraj pakaĵoj

Du vektoraj pakaĵoj sur X, super la sama kampo, havi _Whitney_ (sumo, sumi), kun fibro je (ĉiu, iu) punkto la direkta sumo de (fibroj, fibras). En simila vojo, _fibrewise_ tensora produto kaj dualo (pakaĵoj, pakaĵas) (majo, povas) esti prezentita.

[redaktu] (Variantoj, Variantas) kaj (ĝeneraligoj, ĝeneraligas)

Vektoraj pakaĵoj estas specialaj fibraj pakaĵoj, lakse parolanta tiuj kie la (fibroj, fibras) estas vektoraj spacoj.

Glataj vektoraj pakaĵoj estas difinita per postulanta (tiu, ke, kiu) E kaj X esti glata (duktoj, duktas), π : E → X esti glata mapo, kaj la loka _trivialization_ (mapoj, mapas) φ esti _diffeomorphisms_.

Anstataŭiganta (reala, reela) vektoraj spacoj kun kompleksaj aĵoj, ni ricevi kompleksaj vektoraj pakaĵoj. Ĉi tiu estas speciala okazo de malpligrandiĝo de la struktura grupo de pakaĵo. Vektoraj spacoj super aliaj topologiaj kampoj (majo, povas) ankaŭ esti uzita, sed tio estas kompare malofta.

Se ni permesi ajnaj Banaĥaj spacoj en la loka _trivialization_ (iom ol nur Rⁿ), ni ricevi Banaĥaj pakaĵoj.

[redaktu] Referencoj

• _Jurgen_ _Jost_, Rimana Geometrio kaj Geometria Analitiko, (2002) _Springer_-_Verlag_, Berlino ISBN 3-540-4267-2 Vidi sekcio 1.5.
• _Ralph_ Abraham kaj _Jarrold_ E. _Marsden_, Fundamentoj de Mekaniko, (1978) Benjamen-_Cummings_, Londono ISBN 0-8053-0102-X Vidi sekcio 1.5.