Vikipedio:Projekto matematiko/Generanta funkcio

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Generanta funkcio
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko generanta funkcio estas formala potencoserio kies koeficientoj kodi informo pri vico a_n tio estas (indeksita, indicita) per la naturaj nombroj.

Estas diversaj (klavas, tipoj) de generantaj funkcioj, inkluzivanta ordinaraj generantaj funkcioj, eksponentaj funkciaj generantaj funkcioj, _Lambert_ serio, Sonorila serio, kaj Serio de Dirichlet; (difinoj, difinas) kaj (ekzemploj, ekzemplas) estas donita pli sube. Ĉiu vico havas generanta funkcio de ĉiu tipo. La aparta generanta funkcia tio estas plej utila en donita ĉirkaŭteksto estos dependi sur la naturo de la vico kaj la (detaloj, detalas) de la problemo estante adresis.

Generantaj funkcioj estas ofte esprimita en fermita formo kiel funkcioj de formala argumento x. Iam generanta funkcio estas pritaksita je specifa valoro de x. Tamen, ĝi devas esti memorita (tiu, ke, kiu) generantaj funkcioj estas formala potencoserio, kaj ili estos ne bezone konverĝi por ĉiuj (valoroj, valoras) de x.

[redaktu] (Difinoj, Difinas)

A generanta funkcio estas _clothesline_ sur kiu ni pendi supren vico de nombroj por elmontri.

— _Herbert_ _Wilf_, _generatingfunctionology_ (1994)

[redaktu] Ordinara generanta funkcio

La ordinara generanta funkcio de vico a_n estas

$G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.$

Kiam generanta funkcio estas uzita sen (kompetento, kompetenteco), ĝi estas kutime prenita al (meznombro, signifi) ordinara generanta funkcio.

Se a_n estas la probabla masa funkcio de diskreta hazarda variablo, tiam ĝia ordinara generanta funkcio estas (nomita, vokis) probablo-generanta funkcio.

La ordinara generanta funkcio povas esti ĝeneraligita al (vicoj, vicas) kun multaj (indeksoj, indicoj). Ekzemple, la ordinara generanta funkcio de vico a_m,n (kie n kaj m estas naturaj nombroj) estas

$G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n.$

[redaktu] Eksponenta funkcia generanta funkcio

La eksponenta funkcia generanta funkcio de vico a_n estas

$EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}.$

[redaktu] _Poisson_ generanta funkcio

La _Poisson_ generanta funkcio de vico a_n estas

$PG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n e^{-x} \frac{x^n}{n!}.$

[redaktu] _Lambert_ serio

La _Lambert_ serio de vico a_n estas

$LG(a_n;x)=\sum _{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^n}{1-x^n}.$

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) en _Lambert_ serio la indekso n startas je 1, ne je 0.

[redaktu] Sonorila serio

La Sonorila serio de aritmetika funkcio f(n) kaj primo p estas

$f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.$

[redaktu] Serio de Dirichlet generantaj funkcioj

Serio de Dirichlet estas ofte (klasifikita, klasigita) kiel generantaj funkcioj, kvankam ili estas ne severe formala potencoserio. La Serio de Dirichlet generanta funkcio de vico a_n estas

$DG(a_n;s)=\sum _{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}.$

La Serio de Dirichlet generanta funkcio estas aparte utila kiam a_n estas multiplika funkcio, kiam ĝi havas Eŭlera produta esprimo en (termoj, kondiĉoj, terminoj, termas, terminas) de la funkcia Sonorila serio

$DG(a_n;s)=\prod_{p} f_p(p^{-s})\,.$

Se a_n estas Signo de Dirichlet tiam ĝia Serio de Dirichlet generanta funkcio estas (nomita, vokis) Dirichlet-a L-serio.

[redaktu] Polinomaj vicaj generantaj funkcioj

La ideo de generantaj funkcioj povas esti etendita al (vicoj, vicas) de alia (objektoj, objektas). Tial, ekzemple, polinomaj vicoj de duterma tipo estas generita per

$e^{xf(t)}=\sum_{n=0}^\infty {p_n(x) \over n!}t^n$

kie p_n(x) estas vico de (polinomoj, polinomas) kaj f(t) estas funkcio de certa (formo, formi). _Sheffer_ (vicoj, vicas) estas generita en simila vojo. Vidi la ĉefa artikolo ĝeneraligis _Appell_ (polinomoj, polinomas) por pli informo.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

Generantaj funkcioj por la vico de kvadrataj nombroj a_n = n² estas:

[redaktu] Ordinara generanta funkcio

$G(n^2;x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$

[redaktu] Eksponenta funkcia generanta funkcio

$EG(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^2x^n}{n!}=x(x+1)e^x$

[redaktu] Sonorila serio

$f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty p^{2n}x^n=\frac{1}{1-p^2x}$

[redaktu] Serio de Dirichlet generanta funkcio

$DG(n^2;s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^s}=\zeta(s-2)$

[redaktu] Alia ekzemplo

Generantaj funkcioj povas kreiĝi per etendanta pli simplaj generantaj funkcioj. Ekzemple, startanta kun

$G(1;x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$

kaj anstataŭiganta $x$ kun $2 x$ , ni ricevi

$G(1;2x)=\frac{1}{1-2x} = 1+(2x)+(2x)^2+\cdots+(2x)^n+\cdots=G(2^n;x).$

[redaktu] Pli detalita ekzemplo — Fibonacci nombroj

Konsideri la problemo de trovanta (fermita, fermis) formulo por la Fibonacci nombroj F_n difinis per F₀ = 0, F₁ = 1, kaj F_n = F_n−1 + F_n−2 por n ≥ 2. Ni (formo, formi) la ordinara generanta funkcio

$f = \sum_{n \ge 0} F_n X^n$

por ĉi tiu vico. La generanta funkcio por la vico (F_n−1) estas _Xf_ kaj (tiu, ke, kiu) de (F_n−2) estas X²f. De la rekursieca rilato, ni pro tio vidi (tiu, ke, kiu) la potencoserio _Xf_ + X²f (kongruas, konsentas) kun f krom la unua du koeficientoj. Prenante ĉi tiuj enen (konto, kalkulo), ni trovi (tiu, ke, kiu)

f = X f + X 2 f + X

(ĉi tiu estas la krita (ŝtupo, paŝi); rekursiecaj rilatoj povas preskaŭ ĉiam esti tradukita enen ekvacioj por la generantaj funkcioj). Solvanta ĉi tiu ekvacio por f, ni preni

$f = \frac{X} {1 - X - X^2}$

La denominatoro povas esti faktorita uzanta la ora proporcio φ₁ = (1 + √5)/2 kaj φ₂ = (1 − √5)/2, kaj la tekniko de parta frakcia malkomponaĵa rendimento

$f = \frac{1 / \sqrt{5}} {1-\phi_1 X} - \frac{1/\sqrt{5}} {1- \phi_2 X}$

Ĉi tiuj du formala potencoserio estas sciata eksplicite ĉar ili estas geometria serio; (komparanta, kontrastiganta) koeficientoj, ni trovi la eksplicita formulo

$F_n = \frac{1} {\sqrt{5}} (\phi_1^n - \phi_2^n).$

[redaktu] Aplikoj

Generantaj funkcioj estas uzitaj al

Trovi rekursiecaj rilatoj por (vicoj, vicas) – la (formo, formi) de generanta funkcio (majo, povas) (pensigi, sugesti) rekursieca formulo.
Trovi interrilatoj inter (vicoj, vicas) – se la generantaj funkcioj de du (vicoj, vicas) havi simila (formo, formi), tiam la (vicoj, vicas) sin estas (kredeble, verŝajne) rilatanta.
Esplori la asimptota konduto de (vicoj, vicas).
Pruvi identoj engaĝante (vicoj, vicas).
Solvi numerado (problemoj, problemas) en kombinatoriko.
Pritaksi malfinio (sumoj, sumas).

[redaktu] Aliaj generantaj funkcioj

(Ekzemploj, Ekzemplas) de polinomaj vicoj generita per pli kompleksaj generantaj funkcioj inkluzivi:

diferencaj polinomoj
ĝeneraligita _Appell_ (polinomoj, polinomas)
q-diferencaj polinomoj

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

Momanto-generanta funkcio
Probablo-generanta funkcio
_Stanley_'s reciprokeca teoremo

[redaktu] Referencoj

_Herbert_ S. _Wilf_, _Generatingfunctionology_ ((Sekundo, Dua) Redakcio) (1994) Akademia Premi. ISBN 0127519564.

_Donald_ E. Knuth-a, La Arto de Komputila Programado, Volumeno 1 Fundamenta (Algoritmoj, Algoritmas) (Tria Redakcio) Addison-a-_Wesley_. ISBN 020189683-4. Sekcio 1.2.9: Generante Funkcioj, _pp_.87–96.

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Generante Funkcioj, Povaj Indeksoj kaj Monero Ŝanĝi je (tranĉi-la-nodo, tranĉi-la-nodon)
_Generatingfunctionology_ (PDF)

Elŝutita el "http://eo.wikipedia.org../../../p/r/o/Vikipedio%7EProjekto_matematiko_Generanta_funkcio_5303.html"

Kategorioj: Artikoloj por polurado kaj movo | Kombinatoriko | Matematiko

We provide Linux to the World

Vikipedio:Projekto matematiko/Generanta funkcio

El Vikipedio

Enhavo

[redaktu] (Difinoj, Difinas)

[redaktu] Ordinara generanta funkcio

[redaktu] Eksponenta funkcia generanta funkcio

[redaktu] _Poisson_ generanta funkcio

[redaktu] _Lambert_ serio

[redaktu] Sonorila serio

[redaktu] Serio de Dirichlet generantaj funkcioj

[redaktu] Polinomaj vicaj generantaj funkcioj

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

[redaktu] Ordinara generanta funkcio

[redaktu] Eksponenta funkcia generanta funkcio

[redaktu] Sonorila serio

[redaktu] Serio de Dirichlet generanta funkcio

[redaktu] Alia ekzemplo

[redaktu] Pli detalita ekzemplo — Fibonacci nombroj

[redaktu] Aplikoj

[redaktu] Aliaj generantaj funkcioj

[redaktu] Vidu ankaŭ jenon:

[redaktu] Referencoj

[redaktu] Ekstera (ligoj, ligas)

Views

Navigado

Serĉu

Aliaj lingvoj