Vikipedio:Projekto matematiko/Fermaĵo (topologio)

El Vikipedio

Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al
Fermaĵo (topologio)
(eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi.

En matematiko, la (fermaĵo, adheraĵo) de aro S konsistas de ĉiuj punktoj kiu estas intuicie "proksime al S". Punkto kiu estas en la (fermaĵo, adheraĵo) de S estas punkto adhera de S. La nocio adhera estas en multaj (vojoj, vojas) duala al la nocio de eno.

Enhavo

1 (Difinoj, Difinas)
2 (Ekzemploj, Ekzemplas)
3 Fermaĵa operatoro
4 (Faktoj, Faktas) pri (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas)

[redaktu] (Difinoj, Difinas)

[redaktu] Punkto adhera

Por S subaro de Eŭklida spaco, x estas punkto adhera de S se ĉiu (malfermi, malfermita) pilko centrita je x enhavas punkto de S. (Ĉi tiu punkto (majo, povas) esti x sin.)

Ĉi tiu difino ĝeneraligas al (ĉiu, iu) subaro S de metrika spaco X. Plene esprimita, por X metrika spaco kun metriko d, x estas punkto adhera de S se por ĉiu r > 0, estas y en S tia (tiu, ke, kiu) la distanco d(x, y) < r. (Denove, ni (majo, povas) havi x = y.) Alia vojo al (ekspreso, esprimi) ĉi tiu estas al diri (tiu, ke, kiu) x estas punkto adhera de S se la distanco d(x, S) := _inf_{d(x, s) : s en S} = 0.

Ĉi tiu difino ĝeneraligas al topologiaj spacoj per anstataŭiganta "(malfermi, malfermita) pilko" aŭ "pilko" kun "najbaraĵo". Estu S esti subaro de topologia spaco X. Tiam x estas punkto adhera de S se ĉiu najbaraĵo de x enhavas punkto de S. (Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiu difino ne dependi sur ĉu najbaraĵoj estas postulita al esti (malfermi, malfermita).

[redaktu] Limiga punkto

La difino de punkto adhera estas proksime rilatanta al la difino de limiga punkto. La diferenco inter la du (difinoj, difinas) estas subtila sed grava — nome, en la difino de limiga punkto, ĉiu najbaraĵo de la punkto x koncerna devas enhavi punkto de la aro escepte x sin.

Tial, ĉiu limiga punkto estas punkto adhera, sed ne ĉiu punkto adhera estas limiga punkto. Punkto adhera kiu estas ne limiga punkto estas izolita punkto. En alia (vortoj, vortas), punkto x estas izolita punkto de S se ĝi estas ero de S kaj se estas najbaraĵo de x kiu enhavas ne aliaj punktoj de S escepte x sin.

Por donita aro S kaj punkto x, x estas punkto adhera de S se kaj nur se x estas ero de S aŭ x estas limiga punkto de S.

[redaktu] (Fermaĵo, Adheraĵo) de aro

La (fermaĵo, adheraĵo) de aro S estas la aro de ĉiuj punktoj adhera de S. La (fermaĵo, adheraĵo) de S estas signifita _cl_(S), _Cl_(S), aŭ S⁻. La (fermaĵo, adheraĵo) de aro havas jenaj propraĵoj.

_cl_(S) estas (fermita, fermis) superaro de S.
_cl_(S) estas la komunaĵo de ĉiuj fermitaj aroj enhavanta S.
_cl_(S) estas la (plej minuskla, plej malgranda) fermita aro enhavanta S.
Aro S estas (fermita, fermis) se kaj nur se S = _cl_(S).
Se S estas subaro de T, tiam _cl_(S) estas subaro de _cl_(T).
Se A estas fermita aro, tiam A enhavas S se kaj nur se A enhavas _cl_(S).

Iam la (sekundo, dua) aŭ tria propraĵo pli supre estas prenita kiel la difino de la topologia (fermaĵo, adheraĵo).

En unua-numerebla spaco (kiel metrika spaco), _cl_(S) estas la aro de ĉiuj limigoj de ĉiuj konverĝa (vicoj, vicas) de punktoj en S. Por ĝenerala topologia spaco, ĉi tiu (propozicio, frazo, ordono) restas vera se unu (anstataŭas, anstataŭigas) "vico" per "(reto, neta)".

(Tononomo, Noto, Noti) (tiu, ke, kiu) ĉi tiuj propraĵoj estas ankaŭ kontentigita se "(fermaĵo, adheraĵo)", "komunaĵo", "enhavas/enhavanta", "(plej minuskla, plej malgranda)" kaj "(fermita, fermis)" estas (anstataŭigita, anstataŭigis) per "eno", "unio", "enhavis en", "plej granda", kaj "(malfermi, malfermita)". Por pli sur ĉi tiu (materio, afero), vidi fermaĵa operatoro pli sube.

[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)

En (ĉiu, iu) spaco, la (fermaĵo, adheraĵo) de la malplena aro estas la malplena aro.
En (ĉiu, iu) spaco X, X = _cl_(X).
Se X estas la Eŭklida spaco R de reelaj nombroj, tiam _cl_((0, 1)) = [0, 1].
Se X estas la Eŭklida spaco R, tiam la (fermaĵo, adheraĵo) de la aro Q de racionalaj nombroj estas la tuta spaco R. Ni diri (tiu, ke, kiu) Q estas densa en R.
Se X estas la kompleksa ebeno C = R², tiam _cl_({z en C : |z| > 1}) = {z en C : |z| ≥ 1}.
Se S estas finia subaro de Eŭklida spaco, tiam _cl_(S) = S. (Por ĝenerala topologia spaco, ĉi tiu propraĵo estas ekvivalento al la T₁ aksiomo.)

Sur la aro de reelaj nombroj unu povas meti alia (topologioj, topologias) iom ol la normo unu.

Se X = R, kie R havas la limesinfima topologio, tiam _cl_((0, 1)) = [0, 1).
Se unu konsideras sur R la topologio en kiu ĉiu aro estas (malfermi, malfermita) ((fermita, fermis)), tiam _cl_((0, 1)) = (0, 1).
Se unu konsideras sur R la topologio en kiu la nur (malfermi, malfermita) ((fermita, fermis)) aroj estas la malplena aro kaj R sin, tiam _cl_((0, 1)) = R.

Ĉi tiuj (ekzemploj, ekzemplas) montri (tiu, ke, kiu) la (fermaĵo, adheraĵo) de aro dependas sur la topologio de la suba spaco. La lasta du (ekzemploj, ekzemplas) estas specialaj okazoj de jeno.

En (ĉiu, iu) diskreta spaco, ekde ĉiu aro estas (malfermi, malfermita) ((fermita, fermis)), ĉiu aro estas egala al ĝia (fermaĵo, adheraĵo).
En (ĉiu, iu) _indiscrete_ spaco X, ekde la nur (malfermi, malfermita) ((fermita, fermis)) aroj estas la malplena aro kaj X sin, ni havi (tiu, ke, kiu) la (fermaĵo, adheraĵo) de la malplena aro estas la malplena aro, kaj por ĉiu ne-malplena subaro A de X, _cl_(A) = X. En alia (vortoj, vortas), ĉiu ne-malplena subaro de _indiscrete_ spaco estas densa.

La (fermaĵo, adheraĵo) de aro ankaŭ dependas sur en kiu spaco ni estas prenante la (fermaĵo, adheraĵo). Ekzemple, se X estas la aro de racionalaj nombroj, kun la kutima subspaca topologio konkludis per la Eŭklida spaco R, kaj se S = {q en Q : q² > 2}, tiam S estas (fermita, fermis) en Q, kaj la (fermaĵo, adheraĵo) de S en Q estas S; tamen, la (fermaĵo, adheraĵo) de S en la Eŭklida spaco R estas la aro de ĉiuj reelaj nombroj pli granda ol aŭ egala al $\sqrt2$ .

[redaktu] Fermaĵa operatoro

La fermaĵa operatoro ⁻ estas duala al la ena operatoro ^o, en la (senso, senco) (tiu, ke, kiu)

S⁻ = X \ (X \ S)^o

kaj ankaŭ

S^o = X \ (X \ S)⁻

kie X signifas la topologia spaco enhavanta S, kaj la deklivo signifas la komplemento de aro.

Pro tio, la abstrakta teorio adhera (operatoroj, operatoras) kaj la Fermaĵaj aksiomoj de Kuratowski povas esti facile tradukita enen la lingvo de eno (operatoroj, operatoras), per anstataŭigantaj aroj kun ilia (komplementoj, komplementas).

[redaktu] (Faktoj, Faktas) pri (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas)

La aro $S$ estas (fermita, fermis) se kaj nur se $C l (S) = S$ . En aparta, la (fermaĵo, adheraĵo) de la malplena aro estas la malplena aro, kaj la (fermaĵo, adheraĵo) de $X$ sin estas $X$ . La (fermaĵo, adheraĵo) de komunaĵo de aroj estas ĉiam subaro de (sed (bezoni, bezono, necesa) ne esti egala al) la komunaĵo de la (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas) de la aroj. En unio de finie multaj aroj, la (fermaĵo, adheraĵo) de la unio kaj la unio de la (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas) estas egala; la unio de nulaj aroj estas la malplena aro, kaj (do, tiel) ĉi tiu (propozicio, frazo, ordono) enhavas la pli frua (propozicio, frazo, ordono) pri la (fermaĵo, adheraĵo) de la malplena aro kiel speciala okazo. La (fermaĵo, adheraĵo) de la unio de malfinie multaj aroj (bezoni, bezono, necesa) ne egala la unio de la (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas), sed ĝi estas ĉiam superaro de la unio de la (fermaĵoj, fermaĵas, adheraĵoj, adheraĵas).

Se $A$ estas subspaco de $X$ enhavanta $S$ , tiam la (fermaĵo, adheraĵo) de $S$ komputita en $A$ estas egala al la komunaĵo de $A$ kaj la (fermaĵo, adheraĵo) de $S$ komputita en $X$ : $Cl_A(S) = A\cap Cl_X(S)$ . En aparta, $S$ estas densa en $A$ se kaj nur se $A$ estas subaro de $C l X (S)$ .