Zjemnění rozkladu

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Zjemnění rozkladu je matematický pojem z oboru teorie množin, který umožňuje uspořádání množiny všech rozkladů určité pevně dané množiny.

Obsah 1 Definice 2 Příklady 3 Zjemnění jako uspořádání 3.1 Příklad množiny všech rozkladů 4 Vztah rozkladů a ekvivalencí 4.1 Příklad množiny všech ekvivalencí 5 Množina všech rozkladů jako úplný svaz 6 Podívajte se také na

[editovat] Definice

Předpokládejme, že jsou a dva rozklady množiny (množina podmnožin množiny je rozklad, pokud její sjednocení je rovno a každé dva její prvky jsou disjunktní množiny).

Řekneme, že rozklad je zjemněním rozkladu , pokud vznikl z rozdělením některých jeho množin na podmnožiny. Přesněji zapsáno

Tuto skutečnost zapisujeme symbolem .

[editovat] Příklady

Uvažujme o rozkladech množiny všech přirozených čísel.

• Rozklad na všechny jednoprvkové podmnožiny je nejjemnější rozklad množiny - pro každý jiný rozklad platí
  .
• Rozklad množiny na jednu jedinou množinu obsahující všechny prvky , značenou , je nejhrubší rozklad množiny - pro každý jiný rozklad platí
  .
• Je-li rozklad na zbytkové třídy po dělení číslem n (tj. například ), pak platí, že , právě když b dělí a. Například nebo .

[editovat] Zjemnění jako uspořádání

Dá se poměrně snadno ověřit, že relace je neostré uspořádání množiny všech možných rozkladů množiny . Určitě se ale nejedná o lineární uspořádání - pokud se vrátíme k předchozímu příkladu, tak neplatí ani , ani .

[editovat] Příklad množiny všech rozkladů

Uvažujme o tříprvkové množině . Tato množina má celkem pět rozkladů , kde

• 
• 
• 
• 
• 

Je vidět, že

• 
• 
• 
• nelze porovnat

[editovat] Vztah rozkladů a ekvivalencí

Jak je uvedeno v článku Ekvivalence (matematika), odpovídá každý rozklad na množině vzájemně jednoznačně nějaké ekvivalenci na množině .

Je-li rozklad a jemu odpovídající ekvivalence, potom R je shodný s množinou tříd ekvivalence a naopak - lze definovat pomocí rozkladu takto:

Lidsky: dva prvky jsou ekvivalentní, pokud náleží do stejné množiny v rozkladu

Označme množinu všech možných ekvivalencí na množině .

Dá se ukázat, že relace (tj. "být podmnožinou) se chová na množině úplně stejně, jako relace na množině , jinými slovy:
Množina při uspořádání je izomorfní s množinou při uspořádání .

[editovat] Příklad množiny všech ekvivalencí

Vraťme se k tříprvkové množině a spočítejme všechny ekvivalence, které na ní lze vytvořit. Žádný div, že jich je zase pět:

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Není ani příliš překvapivé, že mezi těmito ekvivalencemi platí stejné vztahy, jako mezi rozklady - tak už to u izomorfních struktur chodí:

• 
• 
• 
• nelze porovnat

[editovat] Množina všech rozkladů jako úplný svaz

Na závěr ještě podotkněme, že množina všech rozkladů s uspořádáním pomocí zjemnění tvoří algebraickou strukturu nazývanou úplný svaz - lze na ní tedy zavést operace součtu a součinu a s rozklady počítat podobně, jako by to byla čísla.

[editovat] Podívajte se také na

• Ekvivalence
• Rozklad
• Uspořádání
• Svaz (matematika)
• Úplný svaz