Ekvivalence (matematika)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Pojem ekvivalence je v matematice používán pro binární relaci, která množinu, na které je definována, „rozumným způsobem“ rozděluje na vzájemně disjunktní podmnožiny.
Obsah |
[editovat] Definice
O binární relaci na množině řekneme, že se jedná o ekvivalenci, pokud je na
- reflexivní, tj.
- symetrická, tj.
- tranzitivní, tj.
[editovat] Rozklad a třídy ekvivalence
Relace ekvivalence určuje jednoznačně rozklad množiny na třídy ekvivalence.
Rozkladem zde rozumíme takovou množinu podmnožin množiny , že sjednocením této množiny je a každé dva prvky množiny jsou disjunktní:
- , kde je potenční množina množiny
Třídu ekvivalence, do které patří prvek značíme , rozklad množiny podle ekvivalence je následující množina:
Platí to i naopak - každý rozklad množiny určuje jednoznačně právě jednu relaci ekvivalence:
[editovat] Vlastnosti a příklady
[editovat] Identita jako ekvivalence
Na každé množině je identická relace ekvivalence. Všechny její třídy ekvivalence jsou jednoprvkové, takže rozklad podle identické relace obsahuje stejný počet prvků, jako původní množina:
[editovat] Kartézský součin jako ekvivalence
Na každé množině je kartézský součin (tj. největší možná binární relace na množině ) ekvivalence. Její rozklad má pouze jeden prvek - celou množinu :
[editovat] Zbytkové třídy jako ekvivalence
Uvažujme nyní o množině všech přirozených čísel a relaci :
právě když a,b mají stejný zbytek po dělení číslem 7
Tato relace je ekvivalence (jedná se dokonce o speciální algebraickou ekvivalenci, která je nazývána kongruence). Její rozklad má sedm tříd ekvivalence:
[editovat] Podívejte se také na
Podobné články obsahuje: |