Svaz (matematika)
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Svaz je matematický pojem z algebry, konkrétněji z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima).
Obsah |
[editovat] Definice
Množinu 
uspořádanou relací 
nazveme svazem, pokud pro každou dvouprvkovou množinu obsahuje i její supremum a infimum.
Ekvivalentní definice: 
je svaz právě tehdy, když je (A,≤) horní i dolní polosvaz, o horním polosvazu přitom mluvíme, pokud jsou zachovávána suprema, a o dolním polosvazu, pokud jsou zachovávána infima.
[editovat] Příklady
Zajímavými příklady svazu jsou řetězec a protiřetězec. Pokud obsahuje právě jeden prvek, pak jej nazýváme triviální svaz.
Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací "být podmnožinou) je svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem
Uvažujme o množině všech přirozených čísel a o uspořádání , pro které platí, že
(tj. a je menší než b, pokud a dělí b)
Opět se jedná o svaz, protože nejmenší společný násobek je supremum a největší společný dělitel je infimum dvouprvkové množiny přirozených čísel podle tohoto uspořádání.
[editovat] Svazová algebra
Na svazu lze poměrně snadno definovat dvě binární operace, které označují supremum a infimum dvouprvkové množiny (můžeme si je nazvat třeba součet a součin).
Svaz je pak zapisován jako 
, kde
[editovat] Příklad svazové algebry
Pokud budeme uvažovat o množině přirozených čísel a jejím běžném uspořádání podle velikosti, pak výše definovanými operacemi nejsou běžný součet a součin, ale operace
[editovat] Neutrální prvky svazu
Pokud má svaz nejmenší prvek vzhledem k relaci , pak je tento prvek neutrální vzhledem k operaci suprema, můžeme ho tedy označit symbolem 0 a platí pro něj:
Pokud má svaz největší prvek vzhledem k relaci , pak je tento prvek neutrální vzhledem k operaci infima, můžeme ho tedy označit symbolem 1 a platí pro něj:
Pokud se vrátím k předchozímu případu, je číslo 0 neutrálním prvkem pro supremum, ale neexistuje žádný největší prvek, takže neexistuje ani neutrální prvek pro infimum - s trochou nadsázky by se dalo říct, že v našem případě „přirozené číslo 1 není symbol 1“
Pokud se vrátím k příkladu potenční algebry, pak jako 0 mohu označit prázdnou množinu a jako 1 celou původní množinu (ze kterých jsou vybírány podmnožiny).
[editovat] Komplementární svaz
Pokud existují prvek 0 a 1 (tj. nejmenší a největší prvek svazu), pak komplementem prvku a nazvu prvek (značený obvykle -a), který je k němu opačný ve smyslu svazových operací:
Svaz, ve kterém má každý prvek svůj komplement, názvu komplementárním svazem.
[editovat] Příklady
Potenční algebra je vždy komplementární svaz, komplementem každého prvku je jeho doplněk do celé množiny.
Svaz bez největšího prvku nemůže být komplementární. To znamená, že přirozená čísla nejsou ani při uspořádání podle velikosti, ani při uspořádání podle dělitelnosti (viz předchozí příklady) komplementární svazy.
