Směrodatná odchylka

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Směrodatná odchylka je v teorii pravděpodobnosti a statistice často používanou mírou statistické disperze. Zhruba řečeno vypovídá o tom, jak moc se od sebe navzájem liší typické případy v souboru zkoumaných čísel. Je-li malá, jsou si prvky souboru většinou navzájem podobné, a naopak velká směrodatná odchylka signalizuje velké vzájemné odlišnosti. Směrodatná odchylka je nejužívanější míra variability.

[editovat] Definice a výpočet

Směrodatná odchylka se obvykle definuje jako odmocnina z rozptylu náhodné veličiny $X$ , tzn.

$\sigma = \sqrt{D(X)}$ ,

kde $D (X)$ označuje rozptyl náhodné veličiny $X$ .

Pro skutečný výpočet odhadu s.o. na empiricky zjištěné řadě čísel (tento odhad se nazývá výběrová směrodatná odchylka) lze použít tento postup:

Mějme soubor reálných čísel x₁, ..., x_N. Aritmetický průměr souboru lze vypočítat jako:

$\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$ .

Potom výběrová směrodatná odchylka těchto dat může být vypočítána jako

$s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}.$

Pro praktické výpočty se častěji používá ekvivalentní vzorec,

$s = \sqrt{\frac{1}{N-1}(\sum_{i=1}^N x_i^2 - N\overline{x}^2})$

který nevyžaduje předběžný výpočet průměru. Druhý sčítanec pod odmocninou totiž lze počítat průběžně zároveň s výpočtem sumy čtverců x_i během jediného programového cyklu procházejícího vstupní data. Pokud je N velké, redukuje se tím doba výpočtu zhruba na polovinu. Za určitých okolností však tato metoda zároveň může zvýšit vliv zaokrouhlovacích chyb na přesnost výsledku.

Chceme-li posoudit je-li variabilita malá nabo velká, porovnáme směrodatnou odchalku s průměrem