Poolkoördinaatstelsel

vanuit Wikipedia, die vrye ensiklopedie.

'n Polêre rooster met verskeie hoeke wat gemerk is.

In wiskunde is die poolkoördinaatstelsel is a twee-dimensionele koördinaatstelsel waarin punte gegee word deur 'n hoek en 'n afstand vanaf die pool, die middelpunt van die koördinaatstelsel (ekwivalent aan die oorsprong in die Cartesiese koördinaatstelsel). Die poolkoördinaatstelsel word in baie velde gebruik insluitend wiskunde, fisika, ingenieurswese, navigasie en robotika. Dit is veral nuttig in omstandighede waar die verhouding tussen twee punte geredelik in terme van hoeke en afstande bepaal kan word; in die Cartesiese koördinaatstelsel kan sulke verhoudings slegs deur trigonometriese formules gevind word. Vir baie soorte krommes is 'n poolvergelyking die eenvoudigste wyse van voorstelling en vir ander die enigste.

Inhoud

1 Geskiedenis
2 Uitstip van punte met poolkoördinate
- 2.1 Gebruik van radiaal meting
- 2.2 Omskakeling tussen poolkoördinate en Cartesiese koördinate
3 Poolvergelykings
4 Komplekse getalle
5 Vektor analise
6 Toepassings
- 6.1 Kepler se wette van planetêre beweging
7 Drie dimensies
- 7.1 Silindriese koördinate
- 7.2 Sferiese koördinate

[wysig] Geskiedenis

Dit is bekend dat die Grieke die konsepte van hoek en radius gebruik het. Die sterrekundige Hipparchus (190-120 v.C.) het 'n tabel van koordfunksies opgestel wat die lengte van elke koord vir elke hoek gee en daar is verwysings na sy gebruik van poolkoördinate in die bepaling van sterposisies.^[1] In Oor Spirale, beskryf Archimedes sy beroemde spiraal, 'n funksie waarvan die radius afhang van die hoek. Die Griekse werk het egter nie sover as 'n volle koördinaatstelsel gestrek nie.

Daar is verskeie bewerings oor wie poolkoördinate vir die eerste keer as deel van 'n formele koördinaatstelsel gebruik het. Die verhaal van die onderwerp word volledig vertel Harvard professor Julian Lowell Coolidge se Origin of Polar Coordinates.^[2]^[3] Gréggoire de Saint-Vincent en Bonaventura Cavalieri het die konsepte onafhanklik op omtrent dieselfde tyd ingevoer. Saint-Vincent het privaat daaroor geskryf in 1625 en dit in 1647 gepubliseer, terwyl Cavalieri dit in 1635 gepubliseer het met 'n gekorrigeerde weergawe wat in 1653 uitgekom het. Cavalieri het poolkoördinate vir die eerste keer gebruik om 'n probleem oor die oppervlak binne 'n Archimedesspiraal op te los. Blaise Pascal het poolkoördinate vervolgens gebruik om die lengte van paraboliese boë te bereken.

In Method of Fluxions (geskryf in 1671, gepubliseer in 1736), Sir Isaac Newton was die eerste wat poolkoördinate oorweeg het as 'n metode om eneige punt in 'n vlak te bepaal. Newton het transformasies tussen poolkoördinate en nege ander koördinaatstelsels ondersoek. In Acta eruditorum (1691) het Jacob Bernoulli 'n stelsel met 'n punt op 'n lyn, onderskeidelik genaamd die pool en poolas, gebruik. Koördinate is deur die afstand van die pool en die hoek van die poolas gegee. Bernoulli se werk het gestrek tot bepaling van die buigingsradius van krommes wat in die koördinate uitgedruk is.

Die term poolkoördinate word aan Gregorio Fontana toegeskryf en is deur 18de eeuse Italiaanse skrywers gebruik. Die term is vir die eerste keer in Engels gebruik George Peacock se 1816 vertaling van Lacroix se Differensiaal en Integraal Calculus.^[4]^[5]^[6]

Die uitbreiding van poolkoördinate na drie dimensies word toegeskryf aan Alexis Clairaut en Leonhard Euler.

[wysig] Uitstip van punte met poolkoördinate

Die punte (3,60°) en (4,210°)

Soos in ander tweedimensionele koördinaatstelsels is daar twee poolkoördinate: r (die radiale koördinaat) en θ (die hoekkoördinaat, poolhoek of asimuthoek, soms voorgestel deur φ of t). Die r koördinaat verteenwoordig die radiale afstand van die pool af, en die θ koördinaat die antiklokgewyse (linksom) hoek van die 0° straal (soms die poolas genoem), wat as die positiewe x-as op die Cartesiese koördinaatvlak bekend staan.^[7]

Byvoorbeeld, die poolkoördinate (3,60°) sal afgestip word as 'n punt 3 eenhede van die pool op die 60° straal. Die koördinate (−3,240°) sal ook as die punt afgestip word omdat die negatiewe radiale afstand as 'n positiewe afstand op die oorstaande straal gemeet word (240° ; 180° = 60°).

Een belangrike aspek van die poolkoördinaatstelsel wat nie in die Cartesiese koördinaatstelsel is nie is die vermoeë om 'n enkele punt met oneindig verkillende koördinate uit te druk. In die algemeen kan die punt (r, θ) uitgedruk word as (r, θ ± n×360°) of (r, θ (2n + 1)180°), waar n enige heelgetal is.^[8] 'n Ander interessante feit oor die afstip van punte in poolkoördinate is dat indien die r koördinaat van 'n punt 0 is sal die punt by die pool geleë wees, ongeag van die θ koördinaat.

[wysig] Gebruik van radiaal meting

Hoeke in poolnotasie word gewoonlik in of grade of radiaal uitgedruk waar 2 rad = 360°. Die keuse hang hoofsaaklik van die konteks af. Navigasietoepassings gebruik garde terwyl sommige fisikatoepassings (spesifiek rotasie-meganika) gebruik radiaal metings, gegrong op die verhouding van die radius van 'n sirkel tot die omtrek daarvan.^[9]

[wysig] Omskakeling tussen poolkoördinate en Cartesiese koördinate

Die twee poolkoördinate r en θ kan na Cartesiese koördinate omgeskakel word deur

$x = r \cos \theta \,$

$y = r \sin \theta \,$

Van die twee formules kan omskakelingformules in terme van x en y afgelei word, insluitend

$r = \sqrt{x^2 + y^2} \,$

$\theta = \arctan \frac{y}{x}\qquad x \ne 0 \,$

^[10]As x = 0, dan as y positief is θ = 90° (/2 radiaal) en as y negatief is θ = 270° (3/2 radiaal).

[wysig] Poolvergelykings

Die vergelyking van 'n kromme uitgedruk in poolkoördinate staan bekend as 'n poolvergelyking, en word gewoonlik geskryf met r as 'n funksie van θ.

Poolvergelykings kan verskillende grade van simmetrie vertoon. As r(-θ) = r(θ) sal die kurwe simmetries om die horisontale (0°/180°) straal wees; as r(π−θ) = r(θ) sal dit simmetries om die vertikale (90°/270°) straal wees; as r(θ−α) = r(θ) sal dit rotasioneel simmetries α° antikloksgewysom die pool wees.^[10]

[wysig] Sirkel

'n Sirkel met die vergelyking r(θ) = 1.

Die algemene vergelyking vir enige sirkel met 'n middelpunt by (r₀, ) en radius a is

$r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \varphi) + r_0^2 = a^2$

Dit kan op verskeie maniere vereenvoudig word om ooreen te kom met meer spesifieke gevalle, soos die vergelyking

$r(\theta)=a \,$

vir 'n sirkel met 'n middelpunt by die pool en 'n radius a.^[11]

[wysig] Lyn

Radiale lyne (die wat deur die pool loop) word voorgestel deur die vergelyking

$\theta = \varphi \,$ ,

waar φ die hoogtehoek (elevasieheok) van die lyn is; dit wil sê φ = arctan m met m die helling van die lyn in die Cartesiese koördinaatstelsel.

Enige lyn wat nie deur die pool gaan nie is reghoekig tot 'n radiale lyn.^[12] Die lyn wat die lyn θ = φ reghoekig kruis by die punt (r₀,φ ) het die vergelyking

$r(\theta) = {r_0}\sec(\theta-\varphi) \,$ .

[wysig] Poolroos

'n Poolroos met vergelyking r(θ) = 2 sin 4θ .

'n Poolroos is 'n beroemde wiskundige kromme wat soos 'n blom met kroonblare lyk, en wat slegs as 'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word beskryf deur die vergelykings

$r(\theta) = a \cos k\theta \,$ of

$r(\theta) = a \sin k\theta \,$

As k 'n heelgetal is sal die vergelykings 'n k-blaar roos produseer as k onewe is, of 'n 2k-blaar roos as k ewe is. As k nie 'n heelgetal is nie word 'n skyf gevorm, aangesien die aantal blare ook nie 'n heelgetal is nie. Let daarop dat dit met die vergelykings onmoontlik is om 'n roos te maak met 2 meer as 'n veelvoud van 4 (2, 6, 10, ens.) blare. Die veranderlike a verteenwoordig die lengte van die blare van die roos.

[wysig] Archimedesspiraal

Een arm van die Archimedesspiraal met die vergelyking r(θ) = θ for 0 < θ < 6.

Die Archimedesspiraal is 'n beroemde spriraal wat deur Archimedes ontdek is wat ook slegs deu r'n poolvergelyking uitgedruk kan word. Dit word uitgedruk deur die vergelyking:

$r(\theta) = a+b\theta \,$ .

Verandering van die parameter a sal die spiraal draai, terwyl b die afstand tussen die arms beheer, wat altyd konstant is. Die Archimedesspiraal het twee arms, een vir θ > 0 en een vir θ < 0. Die twee arms is glad verbind by die pool. Die spieëlbeeld van een arm oor die 90°/270° lyn sal die ander arm lewer.

[wysig] Keëlsnitte

Ellips, wat die semi-latus rectum vertoon

Keëlsnitte word uitgedruk deur die vergelyking

$r = {l\over (1 + e \cos \theta)}$

waar l die semi-latus rectum is en e die eksentrisiteit is.

As e < 1 definieer die vergelyking 'n ellips, as e = 1 definieer dit 'n parabool en as e > 1 definieer 'n hiperbool.

[wysig] Ander krommes

As gevolg van die sirkulêre basis van die koördinatestelsel is dit baie eenvoudiger om sekere krommes deur 'n vergelyking in poolkoördinate eerder as in Cartesiese vorm uit te druk. Onder die krommes tel lemniskaat, limaçons, en kardioïde.

[wysig] Komplekse getalle

Komplekse getalle, geskryf in reghoekige vorm as a + bi, kan ook uitgedruk word poolvorm op twee verskillende maniere:

$r(\cos\theta+i\sin\theta) \,$ , afgekort $r \mbox{ cis } \theta \,$
$r e^{i\theta} \,$

wat beide ekwivalent is volgens Euler se formule.^[13] Om tussen reghoekige en poolkomplekse getalle om te skakel word die volgende omskakelingsformules gebruik:

$a = r \cos \theta \,$

$b = r \sin \theta \,$

en daarom $r = \sqrt{a^2 + b^2} \,$

Vermenigvuldiging, deling, en magsverheffing, en die bepaling van wortels van komplekse getalle is dit baie makliker om poolkomplekse getalle te gebruik as reghoekige komplekse getalle. In afgekorte vorm:

Vermenigvuldiging: $(r \mbox{ cis } \theta) * (R \mbox{ cis } \varphi) = rR \mbox{ cis } (\theta+\varphi) \,$
Deling: $\frac{r \mbox{ cis } \theta}{R \mbox{ cis } \varphi} = \frac{r}{R} \mbox{ cis } (\theta-\varphi) \,$
Magsverheffing (De Moivre se formule): $(r \mbox{ cis } \theta)^n = r^n \mbox{ cis } (n\theta) \,$

[wysig] Vektor analise

Analise kan toegepas word op uitdrukkings in poolkoördinate. Laat $\mathbf{r}$ die posisie vektor $(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,$ wees, met r en $θ$ wat afhang van tyd t, laat $\hat{\mathbf{r}}$ 'n eenheidsvektor in die regting $\mathbf{r}$ wees en $\hat{\boldsymbol\theta}$ 'n eenheidsvektor reghoekig tot $\mathbf{r}$ . Die eerste een tweede afgeleides van posisie is

$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},$ .

$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}.$

Laat $\mathbf{A}$ die oppervlakte wees gevee deur 'n lyn wat die fokus met 'n punt op die kromme verbind. In die limiet is $d\mathbf{A}$ helfte van die oppervlak van die parallelogram gevorm deur $\mathbf{r}$ en $d\mathbf{r}$ ,

$dA = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} |\mathbf{r} \times d\mathbf{r}|$ ,

en die totale oppervlak sal die integraal van $d\mathbf{A}$ met betrekking tot tyd wees.

[wysig] Toepassings

[wysig] Kepler se wette van planetêre beweging

Beeld:Kepler-second-law.png

Kepler se tweede wet

Poolkoördinate is 'n natuurlike omgewing vir die uitdruk van Kepler se wette van planetêre beweging. Kepler se eerste wet stel dat die wentelbaan van 'n planeet om 'n ster 'n ellips vorm met een fokus by die middelpunt van die massamiddelpunt van die stelsel. Bogenoemde vergelyking kan gebruik word om die ellips voor te stel.

Kepler se tweede wet, die wet van gelyke oppervlaktes stel dat 'n lyn wat 'n planeet en sy ster verbind gelyke oppervlaktes vee tydens die gelyke tydintervalle, dit wil sê $d\mathbf{A}\over dt$ is konstant. Die vergelykings kan afgelei word van Newton se wette van beweging.

[wysig] Drie dimensies

Die poolkoördinaatstelsel word deur twee verskillende koördinaatstelsels na drie dimensies uitgebrei, die silindriese en sferiese koördinaatstelsels.

[wysig] Silindriese koördinate

2 points plotted with cylindrical coordinates

Die silindriese koördinaatstelsel is 'n koördinaatstelsel wat die tweedimensionele poolkoördinaatstelsel uitbrie na drie dimensies deur 'n derde koördinaat by te voeg wat die hoogte van enige punt bo die vlak aandui, soortgelyk aan die manier waarop die Cartesiese koördinaatstelsel na drie dimensies uitgebrei word. Die derde dimensie word gewoonlik deur h voorgestel wat die drie koördinate (r, θ, h) lewer.

Die drie silindriese koördinate kan na Cartesiese koördinate omgeskakel word deur

${x}={r} \,\cos\theta$

${y}={r} \, \sin\theta$

${z}={h} \,$

[wysig] Sferiese koördinate

'n Punt afgestip deur middel van sferiese koördinate

Poolkoördinate kan ook na drie dimensies uitgebrei word deur die sferiese koördinaatstelsel. In die koördinaatstelsel word 'n punt afgestip deur die koördinate (ρ, φ, θ) waar ρ afstand van die pool is, φ die hoek van die z-as (bekend as die die Engels: colatitude of zenith en gemeet van 0 tot 180°) en θ die hoek van die x-s (soos in die poolkoördinaatstelsel). Die sferiese koördinaatstelsel soortgelyk aan die breedtegraad en lengtegraad stelsel wat op die aarde gebruik word, met die breedtegraaddie komplement van φ, wat bepaal word deur δ = 90° − φ, en die lengtegraad gemeet word deur l = θ − 180°. ^[14]

Die drie sferiese koördinate word omgekakels na Cartesiese koördinate deur

$x =\rho \, \sin\phi \, \cos\theta$