遍历理论

数学上，在一个概率空间上的一个保测变换T称为各态遍历的如果在T下唯一不变的可测集有测度0或1。这个性质的一个旧术语是度量推移的。遍历理论研究遍历变换，由试图证明统计物理中的遍历假设而来。

[编辑] 遍历的定义

考虑适定的函数f的时间平均。这定义为从某个初始点x开始的隔间隔T的取值的平均。

$\hat f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right)$

再考虑f的空间平均和相位平均，定义为

$\bar f = \int f\,d\mu$

其中μ是概率空间的测度。

一般来说，时间平均和空间平均可能不同。但是若变换是遍历的，而该测度不变，则时间均值和空间均值几乎处处相等。这就是著名的遍历定理，其抽象形式由George David Birkhoff给出。平均分布定理是遍历定理的一个特殊情况，专门处理单位间隔上的概率分布。

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