紧集

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目录 1 定义 2 性质 3 直观理解 4 类似概念 5 相关条目

[编辑] 定义

紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们所任何开覆盖都有有限子覆盖。 在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：

• 任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）
• 具备Bolzano-Weierstrass性质
• 完备且完全有界

[编辑] 性质

紧集具有以下性质：

• 紧集的连续映像是紧集
• 豪斯多夫空間的紧子集是闭集
• 实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素
• Heine-Borel定理: 在 Rⁿ 内，一个集合是紧集当且仅当它是封闭并且有界的。
• 定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值
• 定义在紧集上的连续实值函数一致连续

[编辑] 直观理解

从某种意义上，紧集类似于有限集。举最简单的例子而言，在度量空间中，所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言，无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)）, 但R中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续。

[编辑] 类似概念

• 自列紧集：每個序列都有收歛的子序列。
• 可数紧集：每個可數的開覆蓋都有一個有限的子覆蓋。
• 伪紧：所有的實值連續函數都是有界的。
• 弱可數緊緻：每個無窮子集都有極限點。

在度量空间中，以上概念均等价于紧集。

以下概念通常弱于紧集：

• 相對緊緻：如果一個子空間 Y 在母空間 X 中的閉包是緊緻的，則稱 Y 是相對緊緻於 X。
• Pre-compact：若子空間 Y 的所有序列都有一個在母空間 X 收歛的子序列，則稱Y是Pre-compact於X。
• 局部緊緻空間：如果空間中的每個點都有個由緊緻鄰域組成的局部基底，則稱這個空間是局部緊緻空間。

参考资料：

1. 英文维基百科 http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space
2. H.L. Royden Real Analysis (1988) Pearson Education, Inc. Delhi, India, ISBN 81-297-0105-7
3. 张恭庆，林源渠, 泛函分析讲义 (1987) 北京大学出版社，ISBN 7-301-00489-3/O.097

[编辑] 相关条目

• 拓扑空间
• 度量空间
• 数学
• 集合论