大O符号
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注：“order”在全文中被译为“阶”，也可以另译为“数量级”。
大O符号（Big O notation）是用于描述函数渐进行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。在数学中，它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项；在计算机科学中，它在分析算法复杂性的方面非常有用。
大O符号是由德国数论学家保罗·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著作《解析数论》（Analytische Zahlentheorie）首先引入的。而这个记号则是在另一位德国数论学家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）的著作中才推广的，因此它有时又称为朗道符号（Landau symbol）。代表“order of ...”（……阶）的大O，最初是一个大写的希腊字母'Ο'（Omicron），现今用的是英文大写字母'O'，但从来不是阿拉伯数字'0'。
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[编辑] 使用
这个符号有两种形式上很接近但迥然不同的使用方法：无穷大渐进与无穷小渐进。然而这个区别只是在运用中的而不是原则上的——除了对函数自变量的一些不同的限定，“大O”的形式定义在两种情况下都是相同的。
[编辑] 无穷大渐进
大O符号在分析算法效率的时候非常有用。举个例子，解决一个规模为 n 的问题所花费的时间（或者所需步骤的数目）可以被求得：T(n) = 4n² - 2n + 2。
当 n 增大时，n² 项将开始占主导地位，而其他各项可以被忽略——举例说明：当 n = 500，4n² 项是 2n 项的1000倍大，因此在大多数场合下，省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。
进一步看，如果我们与任一其他级的表达式比较，n² 项的系数也是无关紧要的。例如一个包含 n³ 或 2n 项的表达式，即使 T(n) = 1,000,000n²，假定 U(n) = n³，一旦 n 增长到大于1,000,000，后者就会一直超越前者(T(1,000,000) = 1,000,000³ = U(1,000,000))。
这样，大O符号就记下剩余的部分，写作：
并且我们就说该算法具有 n2阶（平方阶）的时间复杂度。
[编辑] 无穷小渐进
大O也可以用来描述数学函数估计中的误差项。例如：
当 
时
这表示，如果 x 足够接近于0，那么误差（ex − (1 + x + x2 / 2)的差）的绝对值小于 x3 的某一常数倍。
[编辑] 形式化定义
[编辑] 常用的函数阶
下面是在分析算法的时候常见的函数分类列表。所有这些函数都处于“n”趋近于无穷大的情况下，增长得慢的函数列在上面。“c”是一个任意常数。
| 符号 | 名称 |
|---|---|
| O(1) | 常数（阶，下同） |
| O(log * n) | 迭代对数 |
| O(logn) | 对数 |
| O([logn]c) | 多对数 |
| o(n) | 次线性 |
| O(n) | 线性 |
| O(nlogn) | 线性对数，或对数线性、拟线性、超线性 |
| O(n2) | 平方 |
| O(nc), c > 1 | 多项式，有时叫作“代数”（阶） |
| O(cn) | 指数，有时叫作“几何”（阶） |
| O(n!) | 阶乘，有时叫做“组合”（阶） |
[编辑] 一些相关的渐进符号
大O是最经常使用的比较函数的渐进符号。
| 符号 | 定义 |
|---|---|
| f(n) = O(g(n)) | 渐进上限 |
| f(n) = o(g(n)) | asymptotically negligible (M = 0) |
| f(n) = Ω(g(n)) | 渐进下限 (当且仅当 g(n) = O(f(n))) |
| f(n) = ω(g(n)) | asymptotically dominant (当且仅当 g(n) = o(f(n))) |
| f(n) = Θ(g(n)) | asymptotically tight bound (当且仅当 both f(n) = O(g(n)) and g(n) = O(f(n))) |
[编辑] 参看
[编辑] 参考资料
- 严蔚敏，吴伟民。数据结构：C语言版。北京清华大学出版社，1996。ISBN 7-302-02368-9。1.4节 算法和算法分析，14-17页。
