等比数列

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等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。

例如数列。

这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2，2¹⁹⁸与2¹⁹⁷的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为q。

目录 1 公式 1.1 公比公式 1.2 通项公式 1.3 求和公式 2 性质

[编辑] 公式

[编辑] 公比公式

根据等比数列的定义可得：

[编辑] 通项公式

我们可以任意定义一个等比数列

这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有：

a₂ = a₁q，

a₃ = a₂q = a₁q²，

a₄ = a₃q = a₁q³，

，

以此类推可得，等比数列的通项公式为：

a_n = a_{n − 1}q = a₁q^{n − 1}，

[编辑] 求和公式

对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。

于是把称为等比数列的和。记为：

如果该等比数列的公比为q，则有：

（利用等比数列通项公式）*

先将两边同乘以公比q，有：

该式减去*式，有：

(q − 1)S_n = a₁qⁿ − a₁★

然后进行一定的讨论

当时，

而当q = 1时，由★式无法解得通项公式。

但我们可以发现，此时：

= na₁

• 综上所述，等比数列的求和公式为：

• 还有另一个求合公式：当q≠1时，

[编辑] 性质

如果数列是等比数列，那么有以下几个性质：

• 

证明：当时，

• 对于，若，则

证明：

∵

∴

• 等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有

• 在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。

• 也成等比数列。