可逆元

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在數學裡，於一(單作環R內的可逆元是指一R的可逆元素，即一元素u使得存在一於R內的v有下列性質：

uv = vu = 1_R，其中1_R是乘法單位元。

亦即，u是R內乘法么半群的一可逆元素。

[编辑] 可逆元群

R的可逆元組成了一於乘法下的群U(R)，稱做R的可逆元群。可逆元群U(R)有時亦被標記成R^*或R^×。

在一可交換單作環R內，可逆元群U(R)以乘法作用於R上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當r~s時，表示存在一可逆元u使得r=us。

U是一由環範疇至群範疇的函數子：每一個環同態 f : R → S 都可導出一群同態U(f) : U(R) → U(S)，當f會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。

一個環R是一個體若且唯若R^* = R \ {0}。

[编辑] 例子

• 在整數環Z裡，可逆元為±1。其每一軌道內都有兩個元素n和−n。

• 任一單位根均是某一單作環R內的可逆元。(若r是一單位根，且rⁿ = 1，則r⁻¹ = r^{n − 1}亦為R的元素)。在代數數論裡，狄利克雷可逆元定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在緎。例如，(√5 + 2)(√5 − 2) = 1。

• 在環M(n,F)，於一體F上的n×n矩陣內，其可逆元恰好就是可逆矩陣。