群

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群（Group）是現代代數學的基本代數結構。最早由法國數學家伽羅華提出。

目录 1 歷史 2 群的概念 3 群的例子 4 基本性質 5 子群 6 類 7 同態 8 同構 9 表示 10 參見 11 參考書目

[编辑] 歷史

參見群論

[编辑] 群的概念

群是一個代數結構：它是一個非空集合S，若在集合S下定義一個代數運算，我們記作「」，且符合下列運算：

1. ，即结合律；
2. , 使得, 其中被稱為中的單位元；
3. ，，使得：，其中被稱為的逆元素；
4. ，如果，则，即封闭性。

則符合上面定義的稱之為群。若除了以上幾點外還有，那麼這個群稱之為阿貝爾群（Abelian group）。

集合G中的元素個數稱為群S的階，記為。如果G中只有有限多個元素，G就被稱為有限群；如果G中有無限多個元素，G就被稱為無限群。

[编辑] 群的例子

• 對稱群
• 循環群
• 交換群
• 著名的伽羅華群

[编辑] 基本性質

• 群G有且只有一個單位元
• 群G中的每個元素有且只有一個逆元素
• 對於群G中任意的元素a,b，方程ax = b和ya = b均有唯一解
• 群G中任意n個元素的連續乘積與運算的順序無關，也就是說可以寫成

[编辑] 子群

1. 概念：設G是一個群，若S是G的一個非空子集且同時S是一個群，則S稱為G的一個子群。
2. 正規子群
   1. 陪集：設S為G的一個子群，a是G裡的一個元素，那麼子集aS稱為S在G中的一個左陪集，記做（這裡aS的意思是）。
   2. 若,則S稱為G的一個正規子群，此時子群S的陪集連同S組成了一個群（稱作S對G的商群，記作G / S），事實上，此時S相當於單位元。
   3. 關於正規子群更詳細地說明見群的同構與同態。

[编辑] 類

1. 共軛：如果同一個群中的兩個元素P和Q滿足關系：P = X ^{- 1}QX，其中X也是同一個群中的元素，則稱元素P和Q共軛。
   1. 共軛是相互的，如果元素P與元素Q共軛，則可證明元素Q也與元素P共軛
   2. 共軛是可以傳遞的，如果群中的元素P與元素Q相互共軛；而元素Q又與群中另一元素R共軛，則必有P與R共軛
2. 類（共軛類）：在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關系了，則稱這個集合為群中的一個共軛類
   1. 同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素
   2. 群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類，如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類

[编辑] 同態

• 若G,G'是群且φ:G →G' 是從G映射到G'的函數，

如果φ滿足， 且φ(ab)=φ(a)φ(b)，則稱此函數φ為群同態。

• 若φ:G →G'是一個群同態，則

　im(φ) = {φ(a)}，稱為φ的image。

　ker(φ) = {aG| φ(a)e'}，e'為G'的單位元素，稱為φ的kernel。

[编辑] 同構

[编辑] 表示

1. 表示：如果任何非零方陣的集合的乘法關系和給定群的乘法關系相同，則這個矩陣集合形成群的一個表示，這套矩陣的階稱為表示的維數。
   1. 等價表示：如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是等價的。
   2. 可約表示和不可約：如果任何維數大於1的表示的所有矩陣都可以用相同的相似變換轉換為相同的塊對角矩陣結構，則稱此表示為可約表示，反之稱為不可約表示
2. 特征標：在某個表示中，群元素R的對應矩陣的跡稱為元素R 在這個表示下的特征標

[编辑] 參見

群基本定理

群論常用術語

廣義正交定理

与抽象代数相关主题

代数系统 | 群 | 半群 | 环 | 整环 | 除环 | 多项式环 | 域 | 伽罗瓦域 | 本原元 | 格

同态 | 同构 | 商结构(商系统)

[编辑] 參考書目

《代數學引論》 第二版 ISBN 7-04-008893-2 聶靈沼、丁石孫-{著}-，高等教育出版社出版