群作用

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数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示时群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

[编辑] 定义

若 $G$ 为一个群而 $X$ 为一个集合，则 $G$ 在 $X$ 上的一个(左) 群作用是一个二元函数 $\cdot : \mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$ (其中 $g \in \mathrm{G}$ 和 $x \in \mathrm{X}$ 的像写作 $g \cdot x$ )，满足如下两条公理：

$(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ 对于所有 $g, h \in \mathrm{G}$ and $x \in \mathrm{X}$ 成立
$e \cdot x = x$ 对于每个 $x \in \mathrm{X}$ 成立 ( $e$ 代表 $G$ 的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个 $g \in \mathrm{G}$ ，映射 $x \in \mathrm{X}$ 到 $g \cdot x$ 的函数是一个双射，从 $X$ 映射到 $X$ 。因此，也可以将math>\mathrm{G}</math>在 $X$ 上的群作用定义为从 $G$ 到对称群 $S X$ 的群同态。

若群作用 $\mathrm{G} \times \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{X}$ 给定，我们称G作用于集合X或者X是一个G-集合。