共变导数

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数学上，共变导数(covariant derivative,或称协变导数)是在流形上定义沿着向量场的导数的方法之一。

事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和联络没有实质上的区别。

这里，我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为张量导数)的传统的带指标记号的简介；张量的共变导数是同一概念的推广。

本条目中，我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别是关于切向量的概念。

[编辑] 一般概念

向量u的沿着向量v的共变导数 $\nabla$ (也写作D)是一个定义第三个称为 $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ (也作 D_vu)的向量的规则，它有如下面所述的导数的属性。向量是一个几何对象，和所选基(坐标系统)无关。固定一个坐标系之后，这个导数和向量基自身的变换规则相同(共变变换)，所以有这个名字。

在欧氏空间的情形,如果有一个标准正交坐标系,一般会用两个相近的点的两个向量的差来定义向量场的导数.

在这样的系统中,平移其中一个向量到另一个的原点,保持和原来的向量平行.这样得到的欧氏空间的共变导数可以取每个分量的导数.

但是在一般情况,我们必须把坐标系的变化考虑在内.在弯曲空间中,例如地球表面(作为一个球面),平移没有严谨的定义,而和它相似的概念,平行输运,依赖于向量被平抑的路径.例如,在二维欧氏平面极坐标中,导数包含了额外的项用于表述坐标格点自身如何"转动".在其他的情况下,还有额外的项描述坐标格点如何扩张，收缩，扭转,交织，等等.

这是一个二维欧氏空间中的极坐标中的曲线的一个例子。在曲线参数t的向量(比如说加速度，不在图中)可以表达在坐标系 $({\mathbf e}_r, {\mathbf e}_{\theta})$ 中,其中 ${\mathbf e}_r$ 和 ${\mathbf e}_{\theta}$ 是极坐标中的单位切向量,用作把一个向量分解为在辐向和切向分量的基底.稍后,极坐标的新基底会相对于第一套基底稍有转动.基向量的共变导数(克里斯拖费尔符号)可以表达这个变化.

(可能最好不要把t看作时间参数,至少在广义相对论的应用中不要这样.它只是一个任意参数沿着路径光滑而单调的变化.)

Image:Parallel transport on globe.png

另一个例子:向量e在球上位于赤道上的一点Q,方向朝北.假设我们首先沿着赤道平行输运该向量直到P然后(保持它和自己平行)沿着子午线把它拖到北极N然后(保持方向)继续沿着另一条子午线输运它回到Q.然后我们注意到沿着封闭回路平行输运的向量不会回到原来的向量;它会变成另外一个方向.这在欧氏空间不会发生,它发生的原因是球的曲面上的曲率.如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回,我们会看到同样的现象.向量的无穷小变化是曲率的一个测量.

[编辑] 备注

定义中的向量u 和 v 是定义在同一点p的.而且共变导数 $\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}$ 也是p的一个向量.

共变导数的定义不用空间的度量。但是，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称为列维-奇维塔联络。

导数的性质暗示者 $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ 依赖于p周围的情况，就像标量函数在一点p沿着曲线的导数依赖于p点周围一样。

共变导数在一个固定的坐标图中，可以用张量描述，但是它不是一个张量，因为它不是在坐标变换下不变的。

在共变导数中关于点p周围的信息可以用来定义向量的平行输运。而且曲率，扭率和测地线也可以只用共变导数来定义。

偶尔，术语"共变导数"指一个一般向量丛沿着基空间的一个切向量的截面的导数；参看"联络形式"中的"向量丛"的有关章节。

[编辑] 形式化定义

[编辑] 函数

给定一个函数 $f$ , 共变导数 $\nabla_{\mathbf v}f$ 和实函数在向量v方向的通常导数相同,同常记为 ${\mathbf v}f$ 或者 $df({\mathbf v})$ .

[编辑] 向量场

向量场 ${\mathbf u}$ 在向量 ${\mathbf v}$ 方向的共变导数 $\nabla$ 记为 $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ 对任意向量场 u, v, w 和标量函数f和g由下列性质定义:

$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ 对于 ${\mathbf v}$ 代数式线性所以 $\nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}$
$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ 对于 ${\mathbf u}$ 可加，所以 $\nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}$
$\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ 遵守乘积法则, 也就是说 $\nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f$ 其中 $\nabla_{\mathbf v}f$ 定义在上面。

注意 $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}$ 在点p依赖于v在p点的值以及u在p的一个邻域的值，因为最有一个性质乘积法则的要求。这表示共变导数不是一个张量。

[编辑] 余向量场

给定余向量场(或者说1-形式) $α$ , 其共变导数 $\nabla_{\mathbf v}\alpha$ 可以用下边的对于所有向量场u都满足的恒等式来定义

$\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).$

余向量场沿着一个向量场v的共变导数还是一个余向量场。

[编辑] 张量场

一旦定义了向量和余向量场的共变导数，它就可以定义到任一张量场上，这要用如下的恒等式，其中 $\varphi$ 和 $ψ$ 是任意两个张量:

$\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),$

并且，若 $\varphi$ 和 $ψ$ 是同一个张量丛的张量场，则

$\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.$

沿着向量场v的共变导数也还是同类型的张量场。

[编辑] 坐标表示

给定坐标函数 $x^i,\ i=0,1,2,...$ , 任何切向量都可以用它的在基 $e_i={\partial\over\partial x^i}$ 中的分量表示. 共变导数是一个向量，所以可以表示为基向量的线性组合Γ^ke_k, 其中Γ^k 是分量(参看爱因斯坦记号). 要给定共变导数，给定每个基向量场e_j 沿着e_i的共变导数就可以了