维基百科,自由的百科全书
在流體力學中,伯努利定律描述就流體沿着一條穩定、非粘滯、不可壓縮的流線移動行為。
[编辑] 物理量及定律
[编辑] 原表達形式
![\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{const}.](../../../math/f/4/9/f49b40c94836e02db2c19e7f28d1d761.png)
流動速度
地心加速度(地球)
流體處於的高度(從某參考點計)
流體所受的壓強
流體的密度
[编辑] 定理假設
- 非粘滯 - 流體無需抵抗與容器壁之間的粘滯力
- 不可壓縮 - 氣體因其可壓縮性多不依循此定律;不可壓縮性可維持密度不變
- 穩定 - 高速流動會導致紊流的出現
[编辑] 推論過程
![image:BernoullisLawDerivationDiagram.png](../../../upload/shared/a/a8/BernoullisLawDerivationDiagram.png)
考慮一符合上述假設的流體,如圖所示:
流體因受力的作功:
![F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t. \;](../../../math/f/0/e/f0edc7590cd77e8de9cb7beb52e7d1e9.png)
流體損失的位能:
![m g h_1-m g h_2 = \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 -\rho g A_2 v_2 \Delta t h_2.\;](../../../math/2/d/2/2d220c7efb04f24bfbd9cf84b5023971.png)
流體所得的動能:
![\frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2](../../../math/9/6/b/96bd9eb577fb745e042748eb176a4a36.png)
根據能量守恆定律,流體因受力的作功 + 流體損失的位能 = 流體所得的動能
![p_1 A-1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 - \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2](../../../math/f/5/4/f5408fd128cdf6faa47b985b5542668e.png)
![\frac{ \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2}{2} + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 + p_1 A_1 v_1 \Delta t = \frac{ \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2}{2} + \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 + p_2 A_2 v_2 \Delta t.](../../../math/7/a/c/7ac5aaf68dc8c5a442296567f03ebc4f.png)
從等式兩邊除以
及
可得:
![\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{const}.](../../../math/f/4/9/f49b40c94836e02db2c19e7f28d1d761.png)
[编辑] 特例:托里拆利定律
當液體因受到地心吸力的作用而流出時,其速率等於
,其中g為引力加速度,h為開口的中心和液體最高面的距離。這個速率剛好等於液體從離地h的地方自由下落,著地前的速率(假設沒有空氣阻力)。